Exercice exponnentiel

[Didoof]

Bonjour. Je souhaiterais soliciter l'aide de l'équipe de SOS math pour un DM sur les exponnentiels. J'ai joint l'énnoncé avec ce message. il s'agit de l'écercie 2.
Pour le I 1), il suffit de dire que 1/x=ex
x=1/ex
x-(1/ex)=0
x- e(-x)=0
f(x)=0
Question 2) a., on calcul la dérivée de f soit: f(x)= x- 1/ex
f '(x)= 1 - (-ex/(ex)²)
f '(x)= 1 + (ex/e2x)
f '(x)= 1 + e(-x)
On sait que e(-x) est stictement positif donc f '(x) est strictement positive et f strictement croissante.

2) b.on sait que x est solution de (E) quand f(x)=0 or,la suite est strictement croissante et f(x)=0 est donc unique: la solution est donc unique.

2) c. je bloque: je n'arrive pas à démontrer l'appartenance de alpha à l'intervalle [1/2;1]

2) d. je ne vois pas en quoi limiter l'intervalle à alpha changera le signe de f.



Je remercie d'avance l'équipe de SOS maths pour leur aide.

[SoS-Math(9)]

bonjour Didoof,

Pour la question 2b), je ne vois pas de suite ? Ici on peut utiliser le théroème des valeurs intermédiaires ...

Pour le 2c), Vérifie que 0 appartient à [f(1/2) ; f(1)], puis avec le théorème précédant, fais ta conclusion ...

Pour le 2d), tu as peut-être raison, mais il faut répondre à la question et peut-être (sans aucun doute ?) qu'il y aura une utilité dans une autre question ...

Bon courage,
SoSMath.

[Didoof]

Merci j'ai terminer le grand I. Pour le grand II, j'ai encore quelques dificultés:

1) Pour démontrer que f(x)=0 <=> g(x)=x, je pars de la deuxième équation en essayant d'arriver sur la première:
g(x)=x <=> 1+x/1+ex=x
<=> 1+ex/1+x= 1/x
<=> (1+ex/1+x) - 1/x=0
<=> (ex-(1/x))/1+x=0
A partir de la, on arrive a trouver que: ex-(1/x)=0
ex = 1/x
x = 1/ex
x- e(-x)=0 <=> f(x)=0
Mais le problème est que je n'ai traité que le numérateur alors qu'au dénominateur j'ai toujours 1+x et je n'arrive pas à m'en débarrasser.

2) Pour démontrer que a est l'unique solution de g(a)=a, on dit que a est l'unique solution de f(a)=0 et par équivalence et d'après la question précedente, on trouve donc que a est l'unique solution de l'équation g(a)=a

3) Calcul de la dérivée g':

g'(x)= [(1+ex)-ex(1+x)]/(1+ex)²
g'(x)= [1-x(ex)]/(1+ex)²

Et là je bloque encore car nous devons trouver que g'(x) est positif autrement dit que 1-x(ex) est positif sur [0;a] et je ne sait pas comment le prouver.

Je requiert encore une fois l'aide de SOS maths. Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Didoof,

Pour la question 1) tu as écrit :
1+x/1+ex=x <=> 1+ex/1+x= 1/x
Ceci n'est pas équivalent ... car dans ta 2ème égalité ton dénominateur peut s'annuler ...
Pour répondre utilise le produit en croix : a/b = c/d <=> a * ...= c * ....

2) c'est juste.

3)Ta dérivée est juste, reste à déterminer les solutions de g'(x) > 0 ...
Je te donne la réponse : g'(x) > 0 <=> .... (à toi de compléter) <=> f(x) > 0
Il faut alors utilise la question I.2d (question dont tu ne comprennais pas l'utilité !).

SoSMath.

[Didoof]

Merci, cela ma beaucoup aidé. Je requiert encore votre aide pour le grand III.

III Question 1): il faut démontrer par réccurence que 0\(\leq\)un\(\leq\)un+1\(\leq\)a

Pour l'initialisation, pas de problème: u0=0 et u1= g(u0)
= g(0)
= 1+0/1+exp(0)
= 1/2
Or, a appartient à l'intervalle [1/2;1] donc a\(\geq\)1/2
et 0\(\leq\)u0\(\leq\)u1\(\leq\)a

Ensuite, j'ai plus de dificultés pour l'héréditée: on suppose que 0\(\leq\)un\(\leq\)un+1\(\leq\)a pour un certain naturel n et
0\(\leq\)g(un)\(\leq\)g(un+1)\(\leq\)a Or, on sait d'après la question II 3. que g est croissante sur [0;a]
donc 0\(\leq\)un+1\(\leq\)un+2\(\leq\)a
Puis on conclue que la propriété est initialisée et héréditaire donc vraie pour tout naturel n.
Mais je ne sait pas si cette héréditée est vraie


III Question 2) Il faut déduire de la question précédente que un est convergente.

Alors ici j'ai aussi un peu de mal. Je pense qu'il faut dire que un+1= g(un) or, g est croissante sur [0;a] donc un est croissante et majorée: elle est donc convergente mais je ne suis pas sûr de ce raisonnement.

III Question 3) Il faut justifier l'égalité g(l) =l, l étant la limite de un.
Là, je ne sait pas vraiment comment répondre. On sait que a est l'unique réel vérifiant g(a)= a donc, il semblerait que l=a mais encore une fois, je n'en suis absolument pas sûr.

Je remercie d'avance l'équipe de SOS-Math pour leur soutien.

[Didoof]

J'ai réussi grâce à vos conseils. Je remercie l'équipe de SOS-Maths pour leur soutien.
Amicalement,
Didoof.