SOS-MATH

Bonjour à tous, j'ai du mal avec un exercice de mon dm, le voici :

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0;2] par:
f(x) = (2x+1) / (x+1)

1) Etudier les variations de f sur l'intervalle [0;2]
Montrer que si x appartient à [1;2], alors f(x) appartient à [1;2]

Pour cette question je trouve que f(x) est croissante sur [0;2] pour cela j'ai calculé la dérivée puis fait le tableau de signe. Par contre pour la 2e partie de cette question faut-il prendre une valeur appartenant à [1;2] et remplacer dans f(x) ?

2) (Un) et V(n) sont 2 suites définies sur N par:
U0 = 1 et pour tout entier naturel n, U(n+1) = f(Un)
V0 = 2 et pour tout entier naturel n, V(n+1) = f(Vn)

a)Représenter graphiquement la fonction f sur [0;2]. Construire sur l'axe des abscisses les 3 premiers termes de chacune des suites. A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence de chacune des suites ?

Après avoir fait le graphique et avoir tracé les 3 premiers terme des 2 suites je trouve que:
la suite (Un) semble être croissante sur [0;2] et semble converger vers le réel 1,5.
La suite (Vn) semble être décroissante sur [0;2] et semble converger vers le réel 1,5.

b) Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que:
- pour tout entier naturel n, 1<(ou égal) Vn <(ou égal) 2
- pour tout entier naturel n, V(n+1) <(ou égal) Vn

On admettra que l'on peut démontrer de même que:
- pour tout entier naturel n, 1<(ou égal) Un <(ou égal) 2
- pour tout entier naturel n, Un <(ou égal) U(n+1)

Il y a encore d'autres question après celles-ci mais j'aimerai tout d'abord avoir de l'aide pour ces premières questions.

Merci d'avance.

Bonsoir Senji

Pour la première question, calcule f(1) puis f(2, comme f est croissante sur [0 ; 2] ; si 1< x < 2 ) alors f(1) < f(x) < f(2), vérifie que tu reste dans [1 , 2].

OK pour Un croissante mais je ne crois pas qu'elle converge vers 1,5, de même pour Vn qui est décroissante mais qui ne converge pas vers 1,5.

Pour la démonstration tu peux t'aider de cette transformation sur f(x) : f(x) = (2x + 2)/(x+1) - 1/(x+1) simplifie la première fraction et utilise cette écriture de f(x) pour conclure plus facilement.
Calcule quelques valeurs exactes des premiers termes à la main, observe les quotients obtenus et compare avec les termes de la suite de Fibonacci dont le rapport de deux termes consécutifs Un+1/Un tend vers le nombre d'or

Bonne suite de dm