SOS-MATH

Bonjour,
Je me demande comment on détermine l'ensemble de dérivabilité d'une fonction. Jusque là je calculais la fonction dérivée, cherchais l'ensemble de définition de cette fonction dérivée et disais que cet ensemble de définition (domaine de validité du calcul de la fonction dérivée) était égal à l'ensemble de dérivabilité de la fonction. Pour déterminer cet ensemble, je disais que le dénominateur devait être différent de 0 et que l'expression sous une racine carrée devait être positive ou nulle.
Mais dans un exercice nous avons étudié la fonction (x+1) multiplié par racine carrée de (1-x²), définie sur [-1;1]. En calculant f', je trouve (-2x²-x+1) sur racine carrée de (1-x²). f' est donc définie sur R -{-1;1}. Cependant en calculant la lim quand x tend vers -1 de f(x)-f(-1) sur (x-1) on trouve 0 donc f serait dérivable en -1 et f'(-1)=0. Mais alors l'ensemble de définition de f' n'est pas égal à l'ensemble de dérivabilité de f?
Pourriez-vous m'éclairer?
Cordialement.

Bonjour,

erreur classique.

Première observation :
une fonction est dérivable en tant que somme, différence, produit, quotient (dénominateur non nul), composée (attention aux domaines) de fonctions dérivables, sur les intervalles où elles le sont.
ça règle la plupart des problèmes.
Ensuite, en des points litigieux, il faut déterminer le nombre dérivé, s'il existe.
Plus précisément, une fonction pourra être dérivable à gauche ou à droite en x0, selon que le nombre d"rivé aura été calculé avec une limite quand h tend vers 0- ou 0+. Et si les deux correspondent, on parle de nombre dérivé en x0.

Un exemple frappant est : \(f(x)=\sqrt{x-e^x}\).
Dérive-la...
Et maintenant détermine f(1), ou f(2), ou f de ce que tu veux...
Que se passe-t-il ?

Bon courage.

Bonjour,
si je dérive la fonction je trouve (1-e^x)/(2 fois racine carrée de (x-e^x)).
Je remarque que la fonction et sa fonction dérivée ne sont jamais définies (donc non dérivables) sur R car x-e^x est toujours négatif. f(1)=racine de (1-e). f'(1)= (1-e)/(2 fois racine carrée de (1-e). Mais que suis-je censée en conclure?

Bonjour,

qu'il est possible d'obtenir une dérivée, alors qu'une fonction n'est pas dérivable...

Plus généralement, ce n'est pas l'expression de la dérivée qui va te donner le domaine de dérivabilité, mais plutôt les théorèmes de dérivabilité.

Maintenant, en terminale, on ne fouille que peu ces problèmes de dérivabilité. Tu peux t'y intéresser par curiosité, mais il ne faut pas que tu considères cela comme un enjeu majeur.

Bon courage.

Bonjour,
oui je comprends mieux maintenant. En fait, pour déterminer un ensemble de dérivabilité, on se base plutôt sur l'expression de la fonction et on cherche à savoir si c'est une somme, une soustraction, un quotient, une composée de fonctions. On détermine l'ensemble de dérivabilité de ces fonctions et normalement à partir des théorèmes comme "une fonction est dérivable en tant que somme, différence, produit, quotient (dénominateur non nul), composée (attention aux domaines) de fonctions dérivables, sur les intervalles où elles le sont", on trouve le domaine de dérivabilité de la fonction.

Ainsi si je reprends mon exemple: la fonction f (x)=(x+1) multiplié par racine carrée de (1-x²), définie sur [-1;1].
On voit que (x+1) est dérivable sur R et que racine carrée de (1-x²) est dérivable sur l'intervalle -1(exclu);1(exclu) car (1-x²) doit être strictement positif. En tant que produit de fonctions dérivables sur l'intervalle -1(exclu);1(exclu), f est dérivable sur cet intervalle. Mais le théorème ne nous permet pas d'affirmer que f n'est dérivable que sur cet ensemble. Après on peut se demander si f est dérivable en -1 et en 1 qui sont des points "litigieux". En cherchant les nombres dérivés on s'aperçoit alors que f est dérivable en -1 et pas en 1. Le domaine de dérivabilité de f est alors -1(inclus);1(exclu).

En fait, c'est ce que vous aviez expliqué au dessus mais maintenant avec l'exemple que vous m'avez donné cela me paraît plus clair! Et de toutes les façons j'ai bien conscience que ce n'est pas un point majeur du programme!

Merci encore.

Bonsoir,

tu as fais un grand pas !

Observe maintenant le graphe de la fonction que tu cites : Tu peux deviner la dérivabilité ou non (attention, il ne s'agit pas d'une démonstration, mais plutôt d'une intuition).
En -1, la tangente semble être de la forme y=ax+b, alors qu'en 1, on ne peut pas l'écrire sous cette forme.
Pas de coefficient de directeur, ou, disons, un coefficient directeur qui tend vers l'infini (moins l'infini ici), ça veut dire un nombre dérivé qui fait la même chose, donc une fonction non dérivable en 1.

À bientôt.

Bonsoir,
tout à fait d'accord avec ces remarques c'est bien compris! En fait on peut deviner une tangente verticale en 1.
Merci pour cet éclaircissement précis et très intéressant.

à bientôt sur sos-math.