SOS-MATH

Bonsoir
J'ai quelques difficultés pour la dernière question de mon DM.
Enoncé : Une entreprise fabrique un produit en quantité x éxprimée en tonnes, avec x \(\in\) [0 ; 5]
Le coût marginal de fabrication en milliers d'euros est donné par f(x) = \(\frac{x^2+x+9}{2x+2}\).

J'ai étudié le signe de f'(x) pour établir le tableau de variation de f, puis j'ai représenté graphiquement la fonction, comme le demandaient les questions.
Puis à la question : Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un cout marginal minimal ?, j'ai répondu pour x = 2 (soir 2 tonnes de produits fabriqués) selon le graphique.

La dernière question est : Démontrer que la fonction donnant le coût total de fabrication est une fonction croissante sur [0;5].
Comme piste notre prof nous a dit que f(x) est le coût total et f'(x) est le coût marginal.
Ne s'est-il pas trompé ? Il me semble plus probable que ce soit l'inverse ; quoi qu'il en soit je bloque.
Merci de votre aide
Lucas

Bonjour Lucas,

Ta démarche est tout à fait correcte. Pour le coût marginal minimal, il serait peut être opportun de donner quelques arguments analytiques pour valider la conjecture donnée par le graphique.
Ne serait-ce que pour justifier que le minimum est bien atteint en 2 et pas en 2,001.
Le coût marginal est bien la fonction dérivée du coût total. Et cela te permet de répondre facilement à la question posée (voir le lien existant entre la fonction dérivée et la fonction).

Bonjour.
En effet je peux valider la conjecture donnée par le graphique en calculant f(2) , et le résultat est bien égal à 2.
Mais la courbe de f est décroissante sur [0;2] puis croissante sur [2;5]. Cette courbe est celle de f, donc le coût total, et non pas celle de f' qui représente le coût marginal !
Donc comment démontrer que la fonction donnant le coût total est croissante sur [0,5] ?
Merci
Lucas

Bonjour Lucas

Valider la conjecture émise ne revient pas à calculer f(2) mais à justifier analytiquement que la fonction f atteint son minimum pour x égale 2.

Et l'énoncé indique bien que la fonction f est la fonction coût marginal, donc la fonction dérivée de la fonction coût total.
A toi de déduire des propriétés de cette fonction coût marginal (propriétés obtenues graphiquement ou analytiquement) que la fonction coût total est strictement croissante sur l'intervalle [0,5].

Bonne chance et à bientôt.

Je crois avoir compris.
Si la fonction f est la fonction dérivée de la fonction coût total, j'étudie son signe pour connaître la variation de la fonction coût total.
La fonction f est au dessus de l'axe des abscisses sur [0;5] donc elle est positive sur [0,5].
Donc la fonction coût total est croissante sur [0;5] !

Si c'est ça, merci de me le confirmer.
Merci de votre aide
Lucas

Bonjour Lucas,

C'est exactement cela .....

Bonne continuation.