DM, les nombres complexes : l'inversion
Posté : mer. 23 sept. 2009 08:09
Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre cet exercice de mon devoir de maths, je ne sais pas comment commencer !
Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (O;u;v).
On note f l'application du plan P privé du point O dans P qui, à tout point M d'affixe z non nulle, associe le point M' d'affixe z'=1/(conjuqué de z).
On a donc aussi z'=z/[z]^2 où [z] désigne le module de z.
1. Montrer que O, M et M' son alignés
2. Déterminer l'ensemble des points invariants par f. Vérifier que l'ensemble contient les points A et B d'affixes respectives -1 et i.
3. Soient C le cercle de diamètre [AB], E le milieu de [AB] et E'=f(E). Derterminer une équation de C. Montrer que E' appartient à C
4. Le point M d'affixe z étant un point quelconque de la droite (AB), on se propose de construire son image M' d'affixe z' par l'application f.
a. Déterminer une équation de la droite (AB). On pose k=OM^2, z=x+iy et z'=x'+iy' avec x, y, x', y' réels. Exprimer k en fonction de x. Montrer que M' appartient à C (on pourra exprimer x' et y' en fonction de x et k).
b. Déduire des questions précédentes une construction géométrique de point M' connaissant le point M.
Je n'arrive pas à résoudre cet exercice de mon devoir de maths, je ne sais pas comment commencer !
Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (O;u;v).
On note f l'application du plan P privé du point O dans P qui, à tout point M d'affixe z non nulle, associe le point M' d'affixe z'=1/(conjuqué de z).
On a donc aussi z'=z/[z]^2 où [z] désigne le module de z.
1. Montrer que O, M et M' son alignés
2. Déterminer l'ensemble des points invariants par f. Vérifier que l'ensemble contient les points A et B d'affixes respectives -1 et i.
3. Soient C le cercle de diamètre [AB], E le milieu de [AB] et E'=f(E). Derterminer une équation de C. Montrer que E' appartient à C
4. Le point M d'affixe z étant un point quelconque de la droite (AB), on se propose de construire son image M' d'affixe z' par l'application f.
a. Déterminer une équation de la droite (AB). On pose k=OM^2, z=x+iy et z'=x'+iy' avec x, y, x', y' réels. Exprimer k en fonction de x. Montrer que M' appartient à C (on pourra exprimer x' et y' en fonction de x et k).
b. Déduire des questions précédentes une construction géométrique de point M' connaissant le point M.