dénombrement - probabilité

[Cédric]

Bonjour,
il y a 5 flacons numérotés A, B, C, D et E et il faut deviner à l'aveugle quel est le flacon contenant l'eau salée, celui contenant l'eau sucrée, celui contenant l'eau du robinet, celui contenant l'eau distillée et celui contenant l'eau vinaigrée.
Quelle est la probabilité d'avoir une bonne réponse sur les 5 ?
Il y a 5 ! possibilités en tout, c'est-à-dire 120.
Pour les cas favorables, j'ai procédé ainsi :
si j'identifie par exemple correctement le flacon A et que je me trompe pour les autres, il y a 3 ! possibilités, c'est-à-dire 6.
Puis 6 fois 5 = 30 d'où la probabilité d'avoir exactement une bonne réponse est : 30/120 = 1/4.
Est-ce correct ?
Merci beaucoup !
C.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Cédric,

Je ne suis pas d'accord avec toi.

si j'identifie par exemple correctement le flacon A et que je me trompe pour les autres, il y a 3 ! possibilités, c'est-à-dire 6.

Pour moi il y a 9 possibilités de se tromper sur les quatre autres flacons. Je te laisse essayer d'expliquer cela.

Voici le résultat d'un programme Python :

[(1, 3, 2, 5, 4), (1, 3, 4, 5, 2), (1, 3, 5, 2, 4), (1, 4, 2, 5, 3), (1, 4, 5, 2, 3), (1, 4, 5, 3, 2), (1, 5, 2, 3, 4), (1, 5, 4, 2, 3), (1, 5, 4, 3, 2), (2, 1, 3, 5, 4), (2, 1, 4, 3, 5), (2, 1, 5, 4, 3), (2, 3, 4, 1, 5), (2, 3, 5, 4, 1), (2, 4, 1, 3, 5), (2, 4, 3, 5, 1), (2, 5, 1, 4, 3), (2, 5, 3, 1, 4), (3, 1, 4, 2, 5), (3, 1, 5, 4, 2), (3, 2, 1, 5, 4), (3, 2, 4, 5, 1), (3, 2, 5, 1, 4), (3, 4, 1, 2, 5), (3, 4, 2, 1, 5), (3, 5, 1, 4, 2), (3, 5, 2, 4, 1), (4, 1, 2, 3, 5), (4, 1, 3, 5, 2), (4, 2, 1, 5, 3), (4, 2, 5, 1, 3), (4, 2, 5, 3, 1), (4, 3, 1, 2, 5), (4, 3, 2, 1, 5), (4, 5, 3, 1, 2), (4, 5, 3, 2, 1), (5, 1, 2, 4, 3), (5, 1, 3, 2, 4), (5, 2, 1, 3, 4), (5, 2, 4, 1, 3), (5, 2, 4, 3, 1), (5, 3, 1, 4, 2), (5, 3, 2, 4, 1), (5, 4, 3, 1, 2), (5, 4, 3, 2, 1)]
45

Bon courage

[Cédric]

Bonjour,
si j'ai bien compris le problème consiste à écrire les 5 chiffres 1,2,3,4 et 5 dans l'ordre d'où 5 ! façons d'écrire un nombre avec ces 5 chiffres différents.
Imaginons que 12345 soit le bon nombre cherché. Et si je cherche le nombre de façons d'écrire un nombre avec ces 5 chiffres différents qui a juste le premier chiffre, le chiffre 1, qui est juste, il faudrait donc que je trouve 9 façons différentes.
Je trouve effectivement les 9 combinaisons au lieu des 6 que je croyais initialement :
13254 , 13452, 13524 , 14253, 14523 , 14532 , 15234 , 15423 , 15432
J'ai fait un schéma en arbre pour arriver à ce résultat que vous avez trouvé avec un programme Python.
Est-ce qu'il y aurait une façon théorique d'y arriver (avec des formules ?) ??
Pour finir, par symétrie, il y a donc bien 9 fois 5 = 45 cas favorables.
Et la probabilité d'avoir exactement une bonne réponse est de 45 sur 120.
Merci pour la confirmation et la réponse à ma question intermédiaire.
Cédric

[SoS-Math(25)]

Je suis d'accord avec 45/120 si j'ai bien compris le problème aussi.

Pour expliquer mathématiquement, je ne vois pas tout de suite une formule simple. Il faut déranger la liste [2,3,4,5].

Le 2 n'a que 3 possibilités et à la première place on peut avoir 3, 4 ou 5. Dans chacun de ces 9 cas, il ne reste qu'une possibilité pour placer les deux autres chiffres.

Ou peut-être en comptant les dérangements de la liste [2,3,4,5].

En regardant 1 comme étant le bon choix, il faut compter le nombre de dérangements de la liste [2,3,4,5] => !4 = ...= 9 :

C'est à dire :

Partons de 4! = 24 permutations.

Il faut ensuite enlever toutes les permutations qui laissent stables 1 éléments, puis enlever encore celles qui laissent stables 2 éléments...

Bon courage,