Continuités

[Ano]

On considère la suite (u) définie par:
u0=1
Un+1=3- [(Un+1)/(e^Un)] pour tout n€N.

1. Étudier les variations de la fonction f(x)= 3- [(x+1)/(e^x)] pour x ∈ [0; +∞[.
2. Montrer que l'équation f(x)=x possède une unique solution a sur [0; +∞[.
3. Déterminer, en utilisant la méthode par balayage, un encadrement de a d'amplitude 10^-2
4. Montrer, par récurrence sur n, que (u) est croissante et majorée par a.
5. Justifier que la suite (u) converge et déterminer sa limite.

Mon problème est sur la question 2 et la 3
Merci beaucoup

[SoS-Math(35)]

Bonjour,

Pour répondre à la question 2), je te conseille de former la fonction g(x) = f(x) - x = 3- [(x+1)/(e^x)] - x.
Tu as donc à résoudre g(x) = 0. Tu calcules la dérivée de g ( en te servant de celle de f à la question1)) et tu étudies les variations de g ainsi que les limites aux bornes de son domaine de définition.
Tu pourras ensuite conclure quant à l'unicité de la solution à l'équation g(x) = 0 donc à l'équation f(x) = x grâce au théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Pour la question 3) , tu peux t'apercevoir que cette solution à la calculatrice est entre 2 et 3.
Il te reste à resserrer avec un pas de 0, 1 tes recherches en calculant g(2,1), g(2, 2), g(2, 3)...
Lorsque tu as trouvé l'intervalle d'amplitude 0, 1 dans lequel se trouve la solution, tu peux passer à un pas de 0, 01 avec la même technique.

Tu peux m'envoyer tes solutions si tu le souhaites.

Sos math.

[Ano]

Ca marche merci
Je n'avais jamais appris cette technique avec g(x)=f(x)-x pourtant c'est un DM😕.

[SoS-Math(35)]

Tu peux m'envoyer tes résultats si besoin.

Sos math.