SOS-MATH

Bonjour

Mon prof nous a parlé de l'inégalité de Bienayme Tchebychev, cependant il l'a transformé en : P(∣X−E(X)∣⩾k*écart type)⩽ 1/k^2

Je ne comprend pas d'ou ca sort...

Merci, bonne journée à vous et bon week end

Bonjour Oscar,

Il a simplement pris \(\delta = k \sigma\) dans la formule \(P(|E-X|\geq \delta) \leq \frac{V}{\delta^2} \) sachant que \(\sigma^2 = V\).

SoSMath.

Ok merci mais donc si on prend k=2, ca nous donne 25 pourcents.
Mais je comprend pas le lien avec cette image : https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gl ... togram.svg
qui nous dit que c'est 95 pourcents...

Bonjour,
l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev te donne une information sur la probabilité qu'une variable aléatoir s'écarte de sa moyenne de plus d'une certaine valeur. Donc tu auras effectivement pour un écart de \(2\sigma\), \(P(|X-\mu|\geqslant 2\sigma)\leqslant \dfrac{\sigma ^2}{4\sigma^2}\), ce qui donne bien \(P(|X-\mu|\geqslant 2\sigma)\leqslant 0,25\).
Cette valeur mesure la probabilité de la réunion d'événements \( (X\leqslant \mu-2\sigma)\cup (X\geqslant \mu+2\sigma)\), ce qui correspond, dans le cas d'une loi normale, à l'aire des deux surfaces à l'extérieur de la zone centrale et non celle qui est centrée autour de la moyenne.
Pour \(2\sigma\), cette aire est inférieure à 0,05, donc l'inégalité de Tchebychev n'est pas contredite car elle indique une probabilité inférieure à 0,25.
Cela illustre le "paradoxe" de cette inégalité : elle est très générale (car elle s'applique à toute variable aléatoire possédant une espérance et une variance) mais elle est globalement peu performante car la majoration est assez grossière. C'est d'autant plus vrai pour une variable aléatoire suivant une loi normale, car celle-ci étant concentrée autour de son espérance, la probabilité de s'écarter de cette espérance décroit très rapidement à mesure que l'on s'en écarte.
Bonne continuation