Convexité

[Louise]

Bonsoir,
comment trouvez la convexité d'une fonction à partir des variations de sa dérivée ? Auriez vous un tableau récapitulant les liens entre signe, variations d'une fonction, de sa dérivée et de sa dérivée seconde ?

Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
la convexité d'une fonction dérivable est caractérisée par le sens de variation de sa dérivée. Prenons une fonction \(f\) définie et dérivable sur un intervalle \(I\).

• La fonction \(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si \(f'\) est décroissante sur \(I\) ;
• La fonction \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si \(f'\) est croissante sur \(I\) ;

Si \(f\) est deux fois dérivable, cela revient à étudier le signe de \(f''\) :

• La fonction \(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si \(f''\) est négative sur \(I\) ;
• La fonction \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si \(f''\) est positive sur \(I\) ;

Bonne continuation