Bonjour, j’effectue des recherches pour faire mon grand oral en lien avec le problème de l’échiquier de Sissa ( je souhaite évoquer les suites etc). C’est une situation où on ajoute sur la première case d’un échiquier 1 grain de riz, puis 2 sur la 2eme, 4 sur la 3eme, 16 sur la 4eme etc jusqu’à la case 64. Mais je ne sais pas comment démontrer que dans ce cas là l’évolution du nombre de grain de riz est exponentielle et non pas linéaire.
Merci
grand oral échiquier de sissa
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sos-math(21)
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Re: grand oral échiquier de sissa
Bonjour,
qu'entends-tu par "démontrer que l'évolution est exponentielle" ?
Une fonction exponentielle se caractérise par le fait que son taux de variation instantané (c'est-à-dire sa dérivée) est proportionnel à la fonction elle-même : elle est solution de l'équation différentielle \(y'=ky\).
Si on considère un phénomène discret, en transposant la définition, cela revient à écrire pour une suite \((u_n)\) : \(\dfrac{u_{n+1}-u_n}{n+1-n}=ku_n\) soit \(u_{n+1}-u_n=ku_n\), soit \(u_{n+1}=(1+k)u_n\) ce qui est bien la définition d'une suite géométrique.
Les suites géométriques traduisent bien une croissance exponentielle et on peut aussi leur donner une "forme exponentielle" :
dans ton cas la suite est donnée par \(u_n=2^{n-1}\) où \(n\) est le rang de la case (en commençant par \(n=1\) pour la première case).
Or \(u_n=\text{e}^{(n-1)\ln(2)}=\dfrac{1}{2}\text{e}^{\ln(2)n}\), on obtient bien une forme analogue aux fonctions exponentielles \(f(x) = ae^{kx}\).
Est-ce plus clair ?
Il n'y a donc pas vraiment de démonstration à faire, sauf à vérifier : \(u_{n+1}-u_n=ku_n\).
Bonne continuation
qu'entends-tu par "démontrer que l'évolution est exponentielle" ?
Une fonction exponentielle se caractérise par le fait que son taux de variation instantané (c'est-à-dire sa dérivée) est proportionnel à la fonction elle-même : elle est solution de l'équation différentielle \(y'=ky\).
Si on considère un phénomène discret, en transposant la définition, cela revient à écrire pour une suite \((u_n)\) : \(\dfrac{u_{n+1}-u_n}{n+1-n}=ku_n\) soit \(u_{n+1}-u_n=ku_n\), soit \(u_{n+1}=(1+k)u_n\) ce qui est bien la définition d'une suite géométrique.
Les suites géométriques traduisent bien une croissance exponentielle et on peut aussi leur donner une "forme exponentielle" :
dans ton cas la suite est donnée par \(u_n=2^{n-1}\) où \(n\) est le rang de la case (en commençant par \(n=1\) pour la première case).
Or \(u_n=\text{e}^{(n-1)\ln(2)}=\dfrac{1}{2}\text{e}^{\ln(2)n}\), on obtient bien une forme analogue aux fonctions exponentielles \(f(x) = ae^{kx}\).
Est-ce plus clair ?
Il n'y a donc pas vraiment de démonstration à faire, sauf à vérifier : \(u_{n+1}-u_n=ku_n\).
Bonne continuation