SOS-MATH

Bonjour à tous
Je voudrais de l'aide pour cet exercice
Soit p€IN tel que 10^6p + 10^3p - 2=0[143] et p³-2p²+1=0 dans Z/13Z et. 25<p<50.
1) Résous dans Z/13Z l'équation x³ -2x²+1=0
2) Donne suivant les valeurs de l'entier naturel n le reste de la division de 1000^n par 143
3) Détermine p.
Pour la question 1, j'ai trouvé x=1 dans Z/13Z
Pour la question 2: pour n=2k, k€Z le reste est 1 pour n=2k+1, le reste est-1
Jai de souci au niveau de la question 3

Bonjour,
tu as fait le plus dur avec les deux premières questions.
La première question te dit que la seule solution de l'équation \(x^3-2x^2+1=0\) dans \(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}\) est \(1\).
Or par hypothèse \(p\) vérifie cette équation dans \(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}\) donc \(p\equiv 1\,[13]\).
Comme on a comme contrainte \(25<p<50\), on a comme seules possibilité \(2\times 13+1=27\) et \(3\times 13 +1=40\).
Or dans la question 2, on te donne le reste de la division de \(1000^n\) dans la division par \(143\) et cela dépend de la parité de \(n\).
Ainsi, d'après cette question tu as \(1000^{27}\equiv -1\,[143]\) et \(1000^{40}\equiv 1\,[143]\).
Or \(p\) vérifie l'équation \(10^{6p}+10^{3p}-2\equiv 0\,[143]\) soit \((1000^p)^3+1000^p-2\equiv 0\,[143]\).
Il suffit ensuite de tester cette égalité avec les deux candidats \(27\) et \(40\)
On constate alors que \(27\) ne peut pas être solution car \(1000^{27}\equiv -1\,[143]\) d'après la question 2 et on aurait \((1000^p)^3+1000^p-2\equiv (-1)^3+(-1)-2\equiv -4\not\equiv 0\,[143]\).
En revanche pour 40, on a bien égalité car \(1000^{40}\equiv 1\, [143]\) d'après la question 2 donc \((1000^p)^3+1000^p-2\equiv 1^3+1-2\equiv 0\,[143]\).
Donc la solution est \(40\).
Bonne rédaction