Exercice

[Pierre]

Bonjour, dans un DM on doit construire $\mathbb{C}$ par approche matriciel en définissant $\[ f\colon\begin{aligned}[t] \mathbf{M}&\longrightarrow \mathbb{C}\\ M_{a,b}&\longmapsto a+bi \end{aligned} \]$, où $M_{a,b} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$, et $\mathbf{M}$ est l'ensemble des matrices $M_{a,b}$. Il est demandé de montrer que $f$ est une bijection. Pouvez-vous me dire si mes justifications sont correctes ?

Surjectivité : On pose $I_{2} := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $J := \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Dès lors on peut récupérer l'ensemble des matrices dans $\mathbf{M}$ par $M_{a,b} = aI_{2} + bJ$, par $f$ on peut écrire : $f(M_{a,b}) = f(aI_{2}+bJ) = f(aI_{2}) + f(bJ) = a+bi = z \in \mathbb{C}$ (on a déjà montré l'additivité de $f$)

Injectivité :

$\begin{alignedat}{3} \forall M,M' \in \mathbf{M},f(M_{a,b}) = f(M'_{a',b'}) \implies a+bi = a'+b'i\\ \implies \left \{ \begin{array}{rcl} a&=&a' \\ b&=&b' \end{array} \right.\\ \implies M_{a,b} = M'_{a',b'}\\ \end{alignedat}$

[SoS-Math(9)]

Bonjour Pierre,

cela me semble correct.

SoSMath.