Bonjour,
Je suis en terminale , j'ai un devoir sur les nombres complexes et je suis totalement perdue, voici l'exo (pour ceux qui ne comprennent pas ce que j'ecris : exercice 150 https://www.lelivrescolaire.fr/page/13110512 ) :
Partie A : Racine carrée d’un nombre complexe
Soit α=a+ib un nombre complexe, où a et b sont réels. On cherche à déterminer s’il existe un nombre complexe z tel que z²=α.
On pose z=x+iy, où x et y sont deux réels.
1. Montrer que si z est une solution de l’équation z²=α, alors il en est de même de −z.
2. Montrer que z est solution de z²=α si, et seulement si,x et y vérifient le système suivant :
x²−y²=α
2xy=b
x²+y²= racine de a²+b²
3. a. Montrer que si b>0, alors une solution de l’équation z²=α est donnée par
(Racine de 1/2×(a+(racine de a²+b²)))+i(racine de 1/2×((a²+b²)-a²))
Déterminer une deuxième solution de l’équation étudiée.
b. Montrer que si b<0, alors une solution de l’équation z²=α est donnée par
(Racine de 1/2×(a+(racine de a²+b²)))-i(racine de 1/2×((a²+b²)-a²))
Déterminer une deuxième solution de l’équation étudiée.
4. À l’aide de la question 2., déterminer tous les nombres complexes z tels que :
a. z²=2i
b. z²=3−4i
Alors le problème ici pour moi commencentsur les questions 3a et 3b. Je ne comprend absolument pas comment faire.
J'ai beaucoup de mal en maths expertes et je ne comprends absolument pas cette exercice, si quelqu'un pouvait m'éclairer (ou juste me guider un peu) j'en serais très reconnaissante :(
Merci d'avance !
Nombre complexe
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Alexandra
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sos-math(21)
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Re: Nombre complexe
Bonjour,
Tu as obtenu que l'équation \(z^2=\alpha\) (équivalente à \((x+\mathrm{i} y)^2=a+\mathrm{i} b\) a des solutions si et seulement si
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}x^2-y^2&=&a\\2xy&=&b\\x^2+y^2&=&\sqrt{a^2+b^2}\end{array}\right.\)
En additionnant l'égalité (1) et (3), on a \(2x^2=a+\sqrt{a^2+b^2}\) donc \(x^2=\dfrac{1}{2}\left(a+\sqrt{a^2+b^2}\right)\)
De même en soustrayant l'égalité (1) à l'égalité (3), on a \(2y^2=a-\sqrt{a^2+b^2}\) donc \(y^2=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a^2+b^2}-a\right)\)
Or, \(a^2+b^2>a^2\) donc \(\sqrt{a^2+b^2}>a\) donc \(\sqrt{a^2+b^2}-a>0\) et l'équation a bien une solution réelle.
Or l'hypothèse \(b>0\), associée à l'égalité \(2xy=b\) implique que \(x\) et \(y\) sont de même signe.
À partir de cette étape, on a une discussion selon le signe de \(x\).
Bonne continuation
Tu as obtenu que l'équation \(z^2=\alpha\) (équivalente à \((x+\mathrm{i} y)^2=a+\mathrm{i} b\) a des solutions si et seulement si
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}x^2-y^2&=&a\\2xy&=&b\\x^2+y^2&=&\sqrt{a^2+b^2}\end{array}\right.\)
En additionnant l'égalité (1) et (3), on a \(2x^2=a+\sqrt{a^2+b^2}\) donc \(x^2=\dfrac{1}{2}\left(a+\sqrt{a^2+b^2}\right)\)
De même en soustrayant l'égalité (1) à l'égalité (3), on a \(2y^2=a-\sqrt{a^2+b^2}\) donc \(y^2=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a^2+b^2}-a\right)\)
Or, \(a^2+b^2>a^2\) donc \(\sqrt{a^2+b^2}>a\) donc \(\sqrt{a^2+b^2}-a>0\) et l'équation a bien une solution réelle.
Or l'hypothèse \(b>0\), associée à l'égalité \(2xy=b\) implique que \(x\) et \(y\) sont de même signe.
À partir de cette étape, on a une discussion selon le signe de \(x\).
- Si on suppose \(x>0\), avec ce qui a été dit sur le signe de \(b\), on a aussi \(y>0\) donc on prend les racines carrées et \(z=x+\mathrm{i}y=\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(a+\sqrt{a^2+b^2}\right)}+\mathrm{i}\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a^2+b^2}-a\right)} \) : cela correspond à la solution proposée
- Si on suppose \(x<0\), on a aussi \(y<0\) et on a une solution possible qui s'exprime par :
\(z=-\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(a+\sqrt{a^2+b^2}\right)}-\mathrm{i}\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a^2+b^2}-a\right)} \)
Bonne continuation