Question sur un corrigé d'arithmétique

[Jean]

Bonjour à tous j'envoi ce message car je n'ai pas compris une partie du corrigé, si quelqu'un pouvait éclaircir ce la pour moi svp?

Exo:
NOMBRES DE MERSENNE

a. Soit \(a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}^*\).
Montrer que :
$$
a^n-1=(a-1) \times\left(a^{n-1}+\ldots+a+1\right) \text {. }
$$
b. Soit n et a deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 .
Démontrer que si \(a^n-1\) est premier, alors \(a=2\) et \(n\) est premier.
c. On appelle nombre de Mersenne, tout nombre de la forme \(2^p-1\) avec p premier, on le note M_p
Les nombres \(M_2, M_3, M_5, M_7, M_{11}\) sont-ils premiers?

Corrigé
1a) On reconnait la suite géométrique de raison a.
a^n-1 =(a-1)(a^n-1 + ....+a+1)

b. Soit \(a \in \mathbb{N}, a \geqslant 2 \: et \: n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2. On a :a-1 \geqslant 1\). Or :

\(a^n-1=(a-1)\left(a^{n-1}+\ldots+a^2+a+1\right) \text { et } 1+a+a^2+\ldots+a^{n-1}>1\)

Donc si $a^n-1$ est premier, a-1=1, donc a=2.(je j'ai pas compris comment on est passé de l'inégalité à l'égalité a=2)


a-1>=1 au a=2 , on a a^n-1>1 ok mais ce n'est pas non plus une égalité

[sos-math(21)]

Bonjour,
si tu supposes que \(a\) et \(n\) sont tous les deux supérieurs ou égaux à 2, alors \(a^n-1>1\) et on a aussi \(1+a+\ldots a^{n-1}>1\).
Si \(a^n-1\) est premier, cela signifie qu'il admet pour seuls diviseurs \(1\) et lui-même.
Donc si on a une décomposition pour \(a^n-1\) de la forme \(a^n-1=p\times q\), alors soit \(p=1\) et \(q=a^n-1\), soit \(p=a^n-1\) et \(q=1\).
Ainsi la décomposition \(a^n-1=(a-1)\left(a^{n-1}+\ldots+a^2+a+1\right)\) mène à \(a-1=a^n-1\) ou bien \(a-1=1\) d'après ce qu'on a dit précédemment.
L'égalité \(a-1=a^n-1\) menant à \(a=a^n\), qui est fausse dès que \(a\geqslant 2\) et \(n\geqslant 2\), on a nécessairement \(a-1=1\) donc \(a=2\).
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation