calcul de limite ln

[jean]

bonsoir j'ai un exercice sur les calcules de limite de la fonction ln que n'arrive pas à lever l'indétermination. soit la fonction f définie sur ]0;+oo[ par f(x)=xln(1+1/x²) et f(0)=0
1) calcule lim xf(x) en +oo et déduire que lim de f(x) en +oo est 0.
2) montre que lim de f(x) lorsque x tend vers 0 est 0.
pour la question 1 quand je calcule la limite directement je constate qu'on a une forme indéterminée de coût pour lever l'indétermination j'ai pensé à une limite de en qui lim(1+x)/x. =1
x tend vers 0
donc j'ai fait un changement de variable en posant t=1/x² donc x=1/√(t) et lorsque x tend vers +oo t tend vers 0 on aura donc lim ln(1+t)/√(t) lorsque x tend vers 0 donnera 1 on peut en déduire lim xf(x) quand x tend vers+oo donc +oo. c'est ce que j'ai pu faire mais je ne sais pas si mon raisonnement est logique et je n'arrive pas à faire les autres questions.

[SoS-Math(35)]

Bonjour,

Je suis d'accord avec toi sur l'emploi de la limite de lim(1+t)/t =1 quand t tend vers 0 et ton raisonnement de changement de variable.
On peut donc écrire t = 1/x².
par conséquent lim x f(x) = 1 quand x tend vers l'infini.
Et donc lim f(x) = 0 quand x tend vers l'infini.

Pour la deuxième question, tu peux peut-être, comme on te l'a demandé de faire dans la question 1), te servir des limites suivantes :
lim x.lnx quand x tend vers x tend vers 0 ou lim lnx / x quand x tend vers l'infini.

A bientôt sur le forum,

Sos math.

[jean]

bonjour .je pensais que la limite de xf(x) donnait+oo puisque pour f(x) à donner 1 et pour x va donner+oo

[SoS-Math(35)]

Non xf(x) est égale à x²ln(1+1/x²) qui est égal à ln(1+t) /t pour t = 1/x².
Donc lim x²ln(1+1/x²) est égale à 1.
par conséquent si tu divises par x quand x tend vers +oo, tu obtiens bien lim f(x ) = 0 quand x tend vers +oo.

sos math.

[jean]

bonsoir m. d'accord je comprends maintenant.
pour la limite en 0 pourriez vous m'expliquer cette partie aussi ?

[SoS-Math(35)]

On peut raisonner de la façon suivante :

quand x tend vers 0 , 1 + 1/x² \(\approx\) 1/x².

Donc ln (1 + 1/x²) \(\approx\) ln 1/x².

On peut ici utiliser l'égalité suivante ( issue des propriétés des logarithmes népériens) : ln 1/x² = -2lnx

Donc x.ln(1 +1/x²) \(\approx\) -2 x.lnx .

Or la limite de x.lnx est connue quand x tend vers 0.

As tu compris la démarche?

Sos math.