SOS-MATH

bonsoir.
montre à l'aide de l'inégalité des accroissement fini que
Pi/2-(2*x)<Cos(x)/Sin(x)-1<Pi/4-x. x∈[π/4; π/2]
je n'arrive pas à comprendre comment commencer l'exercice j'ai même du mal à choisir une fonction pour pouvoir appliquer la formule

Bonjour,

Je pense que les inégalités sont larges dans ton exercice (si x = Pi/4 ...) ou que l'intervalle est ouvert.

Soit donc \(x \in [\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}]\)

Une idée peut être d'appliquer l'inégalité des accroissements finis à la fonction \(f(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\) entre \(a = \frac{\pi}{4}\) et \(b=x\).

1) Vérifier que cette fonction est continue sur \([\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}]\) et dérivable sur \(]\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}[\)

2) Déterminer f'(a) et f'(b) = f'(x)

3) Déterminer deux valeurs adéquates m et M telles que \(m \leq f'(x) \leq M\) pour tout \(x \in ]\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}[\)

4) Conclure avec un encadrement issu de l'inégalité des accroissements finis.

Bon courage

bonjour. pour la dérivé de la fonction j'ai trouvé f'(x)=-1/sin²(x) et f'(a)=-2
maintenant j'ai du mal a encadrer la dérivé pour trouver les deux nombres réels M et m

Bonjour,

je suis d'accord avec ta dérivée et pour le calcul de f (π/4).

Pour encadrer f' sur l'intervalle, tu dois travailler avec la fonction sin sur cet intervalle. commence par encadrer sin sur l'intervalle , puis sin², puis 1 / sin ² ( attention au sens des inégalités), puis -1/sin² ( encore une fois attention au sens des inégalités).
Tu devrais trouver -2 < f'(x) < -1.

Je te laisse continuer.

A bientôt sur le forum.