bonsoir j'ai un exercice que je n'arrive pas à bien comprendre.
en utilisant l'inégalité des des accroissement fini montre que
1) b-a/(cos²a)<tan(b)-tan(a)<b-a/(cos²b)
2) 1/2√(a+1)<√(a+1)-√a<1/2√a
pour la première question j'ai posé que f(x)=tanx
donc f'(x)1/cos²x. pour x appartenant à [a;] ,
a<x<b
cos(a)<cosx<cos(b)
cos²(a)<cos²x<cos²(b)
1/cos²b<1/cos²x<1/cos²a
au niveau d'ici je n'arrive pas à comprendre car je ne trouve ce qu'on me demande ensuite pour la deuxième question je n'arrive pas à bien comprendre cette partie là
inégalités des accroissement fini
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sos-math(21)
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Re: inégalités des accroissement fini
Bonjour,
ta fonction \(x\mapsto \dfrac{1}{\cos^2(x)}\) n'est pas monotone sur les intervalles où elle est définie. D'ailleurs, la fonction tangente n'étant pas définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier, tu devrais avoir des restrictions sur les intervalles \([a\,;\,b]\) sur lesquels tu vas appliquer l'inégalité des accroissements finis. Que te dit-on sur les réels \(a\) et \(b\) pour cette question ?
Pour la deuxième, tu appliques l'inégalité des accroissements finis à la fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) sur l'intervalle \([a\,;\,a+1]\), avec \(a>0\).
La dérivée de cette fonction est \(x\mapsto\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) qui est strictement décroissante sur \([a\,;\,a+1]\) donc pour tout réel \(x\) de cet intervalle \(\dfrac{1}{2\sqrt{a+1}}<f'(x)<\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\).
Je te laisse conclure sachant que l'amplitude de l'intervalle sera ici de \(a+1-a=1\).
Bonne continuation
ta fonction \(x\mapsto \dfrac{1}{\cos^2(x)}\) n'est pas monotone sur les intervalles où elle est définie. D'ailleurs, la fonction tangente n'étant pas définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier, tu devrais avoir des restrictions sur les intervalles \([a\,;\,b]\) sur lesquels tu vas appliquer l'inégalité des accroissements finis. Que te dit-on sur les réels \(a\) et \(b\) pour cette question ?
Pour la deuxième, tu appliques l'inégalité des accroissements finis à la fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) sur l'intervalle \([a\,;\,a+1]\), avec \(a>0\).
La dérivée de cette fonction est \(x\mapsto\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) qui est strictement décroissante sur \([a\,;\,a+1]\) donc pour tout réel \(x\) de cet intervalle \(\dfrac{1}{2\sqrt{a+1}}<f'(x)<\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\).
Je te laisse conclure sachant que l'amplitude de l'intervalle sera ici de \(a+1-a=1\).
Bonne continuation
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jean
Re: inégalités des accroissement fini
pour la première question la fonction c'est plutôt tanx c'est ça dérivé que j'ai trouvé 1/cos²x et j'ai encadré la dérivé pour pouvoir appliquer l'inégalité des accroissement fini
2) aux niveaux de la deuxième question on aura (a+1-a )1/2√(a+1)<√(a+1)-√a<(a+1-1)1/2√a
2) aux niveaux de la deuxième question on aura (a+1-a )1/2√(a+1)<√(a+1)-√a<(a+1-1)1/2√a
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sos-math(21)
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Re: inégalités des accroissement fini
Bonjour,
Il s’agit bien de chercher à encadrer \(f’(x)\) pour obtenir des informations sur \(f\).
C’est ce que j’ai fait avec la dérivée de la fonction tangente. Mais j’insiste sur le fait que tu dois avoir des restrictions sur \(a \) et \(b\) pour cette fonction tangente qui n’est pas définie partout sur l’ensemble des réels.
Que te dit l’énoncé ?
Pour la deuxième fonction, cela correspond à ce que je t’ai dit.
Bonne continuation
Il s’agit bien de chercher à encadrer \(f’(x)\) pour obtenir des informations sur \(f\).
C’est ce que j’ai fait avec la dérivée de la fonction tangente. Mais j’insiste sur le fait que tu dois avoir des restrictions sur \(a \) et \(b\) pour cette fonction tangente qui n’est pas définie partout sur l’ensemble des réels.
Que te dit l’énoncé ?
Pour la deuxième fonction, cela correspond à ce que je t’ai dit.
Bonne continuation
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jean
Re: inégalités des accroissement fini
bonjour. l'énoncé on a : 0<a<b<π/2
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sos-math(21)
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Re: inégalités des accroissement fini
Bonjour,
C’est bien plus cohérent avec cette donnée.
Je te conseille de regarder le fichier GeoGebra envoyé dans un de mes précédents messages, tu constateras que la dérivée de la fonction tangente est strictement croissante sur l’intervalle \(\left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[\), ce qui te permettra d’obtenir un encadrement de la dérivée sur l’intervalle \([a\,;\,b]\) inclus dans \(\left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[\).
Tu pourras ensuite appliquer l’inégalité des accroissements finis.
Bonne continuation
C’est bien plus cohérent avec cette donnée.
Je te conseille de regarder le fichier GeoGebra envoyé dans un de mes précédents messages, tu constateras que la dérivée de la fonction tangente est strictement croissante sur l’intervalle \(\left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[\), ce qui te permettra d’obtenir un encadrement de la dérivée sur l’intervalle \([a\,;\,b]\) inclus dans \(\left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[\).
Tu pourras ensuite appliquer l’inégalité des accroissements finis.
Bonne continuation