SOS-MATH

Bonjour,
est-ce que en arithmétique dans l'ensemble Z des entiers relatifs, on a l'équivalence suivante ?
a divise b <=> a² divise b².
J'arrive à montrer facilement que si a divise b alors a² divise b² mais je n'arrive pas à démontrer la réciproque.
Merci.
C.

Bonjour,
pour l'autre sens, tu peux partir des décompositions en produit de facteurs premiers de \(a\) et \(b\).
Les facteurs premiers de \(a^2\) et \(b^2\) n'ont que des exposants pairs et tu dois pouvoir conclure en disant que s'il existe un entier \(p\) tel que :
\(b^2=pa^2\), les facteurs premiers de \(p\) doivent aussi avoir des exposants pairs donc c'est un carré parfait : il existe un entier \(k\) tel que \(p=k^2\) donc \(b^2=pa^2\) est équivalente à \(b^2=k^2 a^2=(ka)^2\) soit \(b=\pm ka=k'a\) donc \(a\) divise \(b\).
Tu dois aussi pouvoir t'en sortir en passant par le PGCD.
Est-ce plus clair ?

Bonsoir,
oui, merci beaucoup, j'ai compris la méthode par décomposition en produit de facteurs premiers.
C.

A bientôt sur le forum.

Sos math.