Page 1 sur 1
exo
Posté : sam. 23 sept. 2023 20:48
par maxime
Bonsoir,
J'ai cet exo à faire :
soit, pour tout n appartient à N*, s(n) ="signe somme avec n au dessus et k=p en bas" 1/(k(k+1))
1. Démontrer que la suite est strictement croissante
Je pensais faire u(n+1)-u(n) et vérifier que cette différence est > 0 mais je n'y arrive pas...
2. Démontrer que s(n) = n/(n+1)
3. D'après ce qui précède, la suite s(n) est-elle majorée ?
merci beaucoup
Re: exo
Posté : sam. 23 sept. 2023 20:58
par maxime
Bonsoir désolé j'ai envoyé le message sur 1ère au lieu de terminale...
Re: exo
Posté : sam. 23 sept. 2023 20:58
par SoS-Math(9)
Bonsoir Maxime,
Pour la question 1, ta méthode est bonne ...
\(u_{n+1}-u_n= \frac{1}{p(p+1)}+....+\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} - (\frac{1}{p(p+1)}+....+\frac{1}{n(n+1)}) = ...\) je te laisse terminer.
Pour la question 2, il faut montrer que \(\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\) puis faire la somme ...
Bon courage,
SoSMath.
Re: exo
Posté : sam. 23 sept. 2023 21:00
par maxime
SoS-Math(9) a écrit : ↑sam. 23 sept. 2023 20:58
\(u_{n+1}-u_n= \frac{1}{p(p+1)}+....+\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} - (\frac{1}{p(p+1)}+....+\frac{1}{n(n+1)})\)
Merci beaucoup mais je ne comprends pas comment vous trouvez ceci..
Re: exo
Posté : sam. 23 sept. 2023 21:04
par SoS-Math(9)
Maxime,
tu as bien \(u_n =\sum_{k=p}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\) ce qui donne \(u_n= \frac{1}{p(p+1)}+\frac{1}{(p+1)(p+2)}+....+\frac{1}{n(n+1)}\)
SoSMath.
Re: exo
Posté : dim. 24 sept. 2023 09:46
par maxime
C'est (n+1)(n+2) ou (p+1)(p+2) ?
Re: exo
Posté : dim. 24 sept. 2023 09:49
par maxime
Mais en fait ce que je ne comprends pas c'est qu'est ce qu'il faut remplacer vu qu'il n'y a pas de n dans la formule... merci
Re: exo
Posté : dim. 24 sept. 2023 10:00
par SoS-Math(35)
Bonjour Maxime,
Pour la propriété au rang n+1, tu dois calculer la somme pour k jusqu'à n+1. Donc k + 1 = n+ 1 + 1= n +2.
Lorsque tu calcules Un+1 - Un , tu élimines terme à terme et il te reste 1 / (n+1)(n+2) qui est positif.
Tu peux ainsi conclure sur la monotonie de la suite.
Sos math.
Re: exo
Posté : dim. 24 sept. 2023 10:01
par maxime
Merci beaucoup au final j'ai réussi à trouver ce résultat !
Est ce que je pourrais avoir une petite aide pour la question 2 ? je ne sais même pas comment débuter, merci encore
Re: exo
Posté : dim. 24 sept. 2023 10:26
par SoS-Math(9)
Maxime,
Pour la question 2, il faut montrer que \(\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\) puis faire la somme ...
S(n) = \(\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{p}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}) \) = \((\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1})+...+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\) = ... je te laisse simplifier cette somme qui va te donner le résultat demandé.
SoSMath.
Re: exo
Posté : dim. 24 sept. 2023 10:30
par SoS-Math(35)
Tu peux te servir comme il t'a été dit hier 1/k(k+1) = 1/k - 1/k+1
Puis ensuite faire la somme de p jusqu' à n. Par soustractions successives, il va te rester 1/p - 1 / (n+1) que tu vas réduire au même dénominateur.
Il te faudra ensuite remplacer p par 1 pour arriver au résultat souhaité.
Bon courage.