loi normale

[Cédric]

Bonjour,
Voici l'énoncé (que j'ai également proposé au forum "autre niveau" depuis quelque temps et j'attends avec impatience une aide) :
Un magasin commercialise un objet de type P qui peut présenter le défaut G et un objet de type Q qui peut présenter le défaut H. Il a reçu un lot important de ces deux objets.

LOI NORMALE (titre de l'exo)
On note G l'événement " un objet de type P prélevé au hasard est défectueux".
On admet que P(G)=0,45.
On prélève un lot de 50 objets de type P qui sont vendus dans la même journée. On admet que le stock du magasin est assez important pour que le prélèvement des 50 objets soit considéré comme un tirage avec remise.
Soit Y la variable aléatoire qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre d'objets de type P défectueux du prélèvement.
1) Justifier que Y suit une loi binomiale dont on arrondira les paramètres à 0,1 près.
2) On décide d'approcher Y par une variable aléatoire Z.
Justifier le fait que E(Z) = 4,5 et sigma(Z) = 0,5.
3) Calculer la probabilité pour que Y>=35, c'est-à-dire que Z>=34,5.
4) Chaque retour d'un objet de type P coûte 25 euros au magasin. Quelle est la probabilité pour que les retours des objets de type P aient coûté plus de 300 euros au magasin dans la journée.

REPONSES :
1) Il s'agit d'un schéma de Bernoulli : répétition de 50 épreuves identiques et indépendantes donc Y suit la loi binomiale de paramètre 50 et 0,45, c'est-dire 50 et 0,5 à 0,1 près.
2) Je ne comprends pas parce qu'on ne sait rien sur Z.
De plus E(Y) = 50*0,45 = 22 donc E(Z) vaudrait d'après moi environ 22 et non 4,5.
V(Y) = 50*0,45*0,55 =12,375 et sigma(Y) = 3,5 ce qui d'après moi devrait aussi à peu près correspondre à sigma(Z).
Pourriez-vous m'aider pour la deuxième question où je bloque déjà ?(dans quel cas peut-on utiliser la loi normale ???)
Merci beaucoup,
Cédric

[SoS-Math(11)]

Bonjour Cédric,

C'est normal de ne rien connaître sur Z puisqu'on cherche les caractéristiques de cette variable.
En revanche lorsqu'on approche une loi binomiale par une loi normale, les paramètres sont bien ceux que tu as calculés np et racine de np(1-p) et je ne vois pas d'explications. Je pense que mes collègues sont aussi à la recherche d'une explication qui puisse t'aider et c'est pour cela que tu n'as pas eu de réponse.
Je suis bien désolé de ne pouvoir t'aider
sos math 11

[Cédric]

Bonsoir,
quand je disais qu'on ne sait rien sur Z, je voulais dire la chose suivante :
il peut exister plusieurs façons d'approcher Y et les valeurs de l'espérance et de l'écart-type seraient alors à mon avis différentes !?
L'énoncé n'a-t-il pas omis de dire :
"Supposons que Z suit une loi normale ...." mais de quels paramètres ?
Merci beaucoup,
Cordialement,
Cédric

[SoS-Math(11)]

Bonjour

Pour approcher par une loi normale on considère que cla est possible dès que n > 35, p "pas top proche de 0 ou de 1 et npq > 3. Toutes ces conditions sont bien vérifiées ici. Les paramètres sont alors np et racine de npq, ce sont ceux que tu as calculés et non pas ceux de l'énoncé. J'ai essayé de voir ce que donnerait non pas l'approche de Y mais celle de sa fréquence, mais cela ne convient pas non plus.
Prends pour la suite les paramètres que tu as calculés, une table de la loi normale avec ces paramètres et vérifie que les résultats sont assez proches de ce que tu obtiens avec la loi binomiale. Fais de même avec ceux proposés dans l'énoncé et compare.
Bonne journée
sos math 11