SOS-MATH

Bonjour,

Je dois représenter la fonction suivante graphiquement :
x(t) = 2-2e^(-2t)
donc en factorisant, nous avons x(t) = 2(1-e^(-2t)).

Sur laquelle de ces deux formes devrait t'on s'appuyer pour tracer la courbe représentative de x(t) ? Y a t'il une forme qui sera plus facile ?
Je reconnais dans x(t) la forme -e^-t. Donc, cela signifie que nous avons graphiquement une courbe symétrique centralement à la fonction e^t. C'est ce que nous avons vu avec SOS21
Mais y a t'il une translation verticale à appliquer ? Je vous joins le corrigé. Pour moi c'est une esquisse qualitative, approximative, avec x(0) = 0, et la courbe de -e^-t. C'est cela ?

Merci de votre attention

1 PJ :

Bonjour,
je pense qu'il faut là encore opérer par symétries et translations.
Je t'ai fait une figure GeoGebra afin de voir comment on passe d'une étape à la suivante : On part de la fonction exponentielle : \(f(t)=\text{e}^{t}\) en vert ;
On définit \(g(t)=f(2t)\) qui a tendance à "dilater" la courbe (en bleu)
On définit ensuite \(h(t)=g(-t)=\text{e}^{-2t}\) qui fait une symétrie axiale d'axe vertical (en rouge)
Puis on définit ensuite \(i(t)=2h(t)=2\text{e}^{-2t}\) qui fait une homothétie (sorte de dilatation) (en rose)
Puis on définit \(j(t)=-i(t)=-2\text{e}^{-2t}\) qui définit une symétrie axiale d'axe horizontal (courbe noire)
Et enfin, \(k(t)=j(t)+2=2-2\text{e}^{-2t}\) qui définit une translation de vecteur vertical \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}\)
On arrive bien à la figure de ton corrigé.
Bonne continuation

Merci SOS 21,

C'est compris, encore une fois !

Bonjour,
tant mieux si ces explications ont permis de surmonter les difficultés.
Bonne continuation et à bientôt sur sos-math