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DM de Maths limites de fonctions
Posté : mar. 25 janv. 2022 18:42
par Celine
Bonjour, voici mon dm pour lequel j’ai besoin de votre aide, (je précise ma prof sanctionne le moindre oublie de détail il faut que je justifie chacune des limites pour trouver la limite finale). Merci d’avance !
Exercice 1
fest la fonction définie sur R par f(x) = (2x - 1)e3-*
1) Calculer lim f (x)
x->-00
On admettra que lim f(x) = 0.
x->+00
2) Montrer que f' (x) = (3-2x) e^3-x
3) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
4) Etudier la convexité de f sur R et donner, s'il y a lieu, ses points d'inflexion.
Exercice 2
Calculer les limites ou dérivées suivantes :
Pour les limites calculées, donner, s'il y a lieu, la conséquence graphique.
a) lim e^x-2/e^x
x->+oo
b) lim 4e^x -3/-2e^x+2
x->+oo
c) lim 7x + 3/x+2
x->-2
x<-2
d) lim e-5x+2 et f’(x) quand f(x) = e-5x+2
x->-+oo
e) f'(x) quand f(x): 1/e^x+1
Mes réponses :
Ex 1 :
f(x) = (2x-1)e^3-x
1) Lim(Pour x->-oo)
Lim 2xe^3-x - lim e^3-x = 0
Car
Lim xe^x = 0 Et Lim e^3-x = 0
Par somme lim f(x) = 0
2) f’(x) = 2e^3-x + (2x-1)3e^3-x
Il me manque une étape pourla forme demander
f’(x) = (3-2x)e^3-x
3) Pour tout x appartenant a R, e^3-x>0 donc f est du signe de (3-2x)
Avec x = 3/2 De [0;3/2] f est décroissante
De [3/2;+oo[ f est croissante
4) f’’(x) = -2e^3-x + (3-2x)3e^3-x
De la même manière je n’arrive pas à factoriser donc à étudier le signe et donc la convexité
Merciiii ( ps : vous savez comment envoyer une photo sans qu’elle soit trop lourde ?) ça sera bcp plus simple pour l’ex 2
Re: DM de Maths limites de fonctions
Posté : mar. 25 janv. 2022 21:00
par SoS-Math(33)
Bonjour Celine,
il te faut reprendre le calcul de la limite.
\(\lim_{x \to -\infty}e^{3-x}\) limite de fonction composée \(\lim_{x \to -\infty}3-x\) et \(\lim_{x \to +\infty}e^x\)
donc \(\lim_{x \to -\infty}e^{3-x} = ...\)
\(\lim_{x \to -\infty}2x-1 = ...\)
Il te faut ensuite utiliser la limite du produit
\(\lim_{x \to -\infty}(2x-1)e^{3-x} = ...\)
Pour la dérivée il faut utiliser \((uv)' = u'v+uv'\)
\(u = (2x-1)\) donc \(u' = 2\)
\(v = e^{3-x}\) donc \(v' = -e^{3-x}\)
Du coup il te faut aussi reprendre le calcul de la dérivée seconde
Je te laisse revoir ça pour l'instant
SoS-math
Re: DM de Maths limites de fonctions
Posté : mar. 25 janv. 2022 21:08
par Céline
Celine a écrit : ↑mar. 25 janv. 2022 18:42
Bonjour, voici mon dm pour lequel j’ai besoin de votre aide, (je précise ma prof sanctionne le moindre oublie de détail il faut que je justifie chacune des limites pour trouver la limite finale). Merci d’avance !
Exercice 1
fest la fonction définie sur R par f(x) = (2x - 1)e3-*
1) Calculer lim f (x)
x->-00
On admettra que lim f(x) = 0.
x->+00
2) Montrer que f' (x) = (3-2x) e^3-x
3) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
4) Etudier la convexité de f sur R et donner, s'il y a lieu, ses points d'inflexion.
Exercice 2
Calculer les limites ou dérivées suivantes :
Pour les limites calculées, donner, s'il y a lieu, la conséquence graphique.
a) lim e^x-2/e^x
x->+oo
b) lim 4e^x -3/-2e^x+2
x->+oo
c) lim 7x + 3/x+2
x->-2
x<-2
d) lim e-5x+2 et f’(x) quand f(x) = e-5x+2
x->-+oo
e) f'(x) quand f(x): 1/e^x+1
Mes réponses :
Ex 1 :
f(x) = (2x-1)e^3-x
1) Lim(Pour x->-oo)
Lim (2x-1) = - oo car lim x= -oo
Et Lim e^3-x = 3 car lim e^x = 0
et lim 3-x = 3 car lim -x = lim 1/x = 0
Par produit lim f(x) = - oo
2) f’(x) = 2e^3-x + (2x-1)-e^3-x
= 2e^3-x -2xe^3-x + e^3-x
= 3e^3-x -2xe^3-x
f’(x) = (3-2x)e^3-x
3) Pour tout x appartenant a R, e^3-x>0 donc f est du signe de (3-2x)
Avec x = 3/-2 De [0;3/2] f est croissante
De [3/2;+oo[ f est décroissante
4) f’’(x) = -2e^3-x + (3-2x)-e^3-x
= -2e^3-x -3e^3-x -2xe^3-x
= -5e^3-x -2xe^3-x
= e^3-x (-5+2x)
Pour tout x appartenant à R, e^3-x>0 donc f est du signe de (-5+2x)
Avec x = 5/2 f’´(x) decroissante sur [0;5/2] concave
f’´(x) croissante sur [5/2;+oo[ convexe
Merciiii ( ps : vous savez comment envoyer une photo sans qu’elle soit trop lourde ?) ça sera bcp plus simple pour l’ex 2
Re: DM de Maths limites de fonctions
Posté : mar. 25 janv. 2022 22:02
par sos-math(21)
Bonjour,
je ne sais pas quelle est ta question car tu as cité ton propre message alors que mon collègue t'a répondu.
Quelle est ta demande précise ?
À bientôt
Re: DM de Maths limites de fonctions
Posté : mar. 25 janv. 2022 22:11
par Celine
J’ai corrigé ce que m’a dit votre collègue, je tenais à savoir si c’est juste. Merci d’avance
Re: DM de Maths limites de fonctions
Posté : mar. 25 janv. 2022 22:19
par sos-math(21)
Bonjour,
pour les dérivées, c'est bon, tu as bien \(f'(x)=(3-2x)\text{e}^{3-x}\) et \(f''(x)=(2x-5)\text{e}^{3-x}\).
Pour le signe, c'est bien celui de \(3-2x\) qu'il faut regarder et le sens de variation est correct.
Pour la dérivée seconde, c'est du même type et cela correspond à ce que tu as fait : concave avant \(\dfrac{5}{2}\), convexe après et il y a donc un point d'inflexion d'abscisse \(\dfrac{5}{2}\).
As-tu corrigé les limites avec ce que t'as dit mon collègue ?
Bonne continuation
Re: DM de Maths limites de fonctions
Posté : mar. 25 janv. 2022 22:27
par Celine
bonjour, pour la limite j’ai rectifié en ca :
f(x) = (2x-1)e^3-x
1) Lim(Pour x->-oo)
Lim (2x-1) = - oo car lim x= -oo
Et Lim e^3-x = 3 car lim e^x = 0
et lim 3-x = 3 car lim -x = lim 1/x = 0
Par produit lim f(x) = - oo
Re: DM de Maths limites de fonctions
Posté : mer. 26 janv. 2022 07:08
par Celine
f(x) = (2x-1)e^3-x
1) Lim(Pour x->-oo)
Lim (2x-1) = - oo car lim x= -oo
Et Lim e^3-x = 3 car lim e^x = 0
et lim 3-x = 3 car lim -x = lim 1/x = 0
Par produit lim f(x) = - oo
Re: DM de Maths limites de fonctions
Posté : mer. 26 janv. 2022 07:32
par sos-math(21)
Bonjour,
il y a un certain nombre d'erreurs dans tes calculs de limites.
Et Lim e^3-x = 3 car lim e^x = 0
et lim 3-x = 3 car lim -x = lim 1/x = 0
Ces calculs de limites sont faux.
Il faut travailler par composition en s'appuyant sur les limites de fonctions usuelles.
\(\lim_{\to -\infty}\text{e}^{3-x}=+\infty\) par composition de limites (comme l'a expliqué mon collègue) :
\(\lim_{x\to-\infty}3-x=+\infty\) et comme \(\lim_{X\to +\infty}\text{e}^{X}=+\infty\), on a bien, par composition de \(x\mapsto 3-x\) et \(x\mapsto \text{e}^{x}\), \(\lim_{\to -\infty}\text{e}^{3-x}=+\infty\).
Par ailleurs on a \(\lim_{x\to-\infty}2x-1=-\infty\), donc par produit de limites \(\lim_{x\to-\infty}(2x-1)\text{e}^{3-x}=-\infty\) (de la forme \((-\infty)\times (+\infty)\)).
Bonne continuation
Re: DM de Maths limites de fonctions
Posté : mer. 26 janv. 2022 12:18
par Celine
Pourquoi limite de 3-x = + oo
x->-oo
Re: DM de Maths limites de fonctions
Posté : mer. 26 janv. 2022 13:12
par SoS-Math(33)
Bonjour,
quand \(x\) tend vers \(-\infty\) alors \(-x\) tend vers \(-(-\infty)\) c'est à dire \(+\infty\)
donc \(\lim_{x \to +\infty}(3-x) = +\infty\)
Est ce plus clair?
SoS-math
Re: DM de Maths limites de fonctions
Posté : mer. 26 janv. 2022 13:51
par Celine
Oui c’est bon merci !
Re: DM de Maths limites de fonctions
Posté : mer. 26 janv. 2022 13:57
par SoS-Math(33)
Bonne continuation
SoS-math