SOS-MATH

Bonjour,
Soit la sphère: (x+2)²+(y-1)²+z²=29
et le plan: x-2y-5z-1=0
Déterminer l'intersection du plan et de la sphère.

Je l'ai fait avec le projeter orthogonal du centre de la sphère sur le plan etc...et je trouve:
L'intersection est un cercle de centre (-11/6;2/3;-5/6 et de rayon=13*racine(6)/6

J'ai voulu le faire avec la résolution du système:
(x+2)²+(y-1)²+z²=29
x-2y-5z-1=0

(x+2)²+(y-1)²+z²-29 = x-2y-5z-1
(x+3/2)²+y²+(z+5/2)²=63/2
donc centre du cercle:(-3/2;0;-5/2) et rayon = racine(63/2)
Cela ne donne pas le même résultat.

J'ai regardé sur internet et j'ai vu ceux qui disent que la méthode par résolution du système ne marche pas et d'autres qui disent ça peut marcher.
Donc j'ai voulu savoir si la méthode par résolution du système marche ou ne marche pas.

Merci d'avance.

Bonjour,
ta sphère est de centre \(O(-2;1;0)\) et de rayon \(\sqrt{29}\).
Pour un vecteur normal au plan, je trouve \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\-5\end{pmatrix}\).
La droite orthogonale au plan passant par \(O\) a pour équation paramétrique \(\left\lbrace\begin{array}{l}x=-2+t\\
y=1-2t\\
z=-5t\end{array}\right.\)
Le point d'intersection de cette droite avec le plan, qui correspond au centre de ton cercle intersection vérifie le système :
\(\left\lbrace\begin{array}{l}
x-2y-5z-1=0\\
x=-2+t\\
y=1-2t\\
z=-5t\end{array}\right.\) soit en remplaçant \(x\), \(y\), \(z\) par leur expressions en fonction de \(t\) dans l'équation du plan :
\(-2+t-2(1-2t)+25t-1=0\) soit \(t=\dfrac{1}{6}\), ce qui donne bien ta solution pour le centre du cercle.
Pour le rayon, j'imagine que tu as fait avec Pythagore et je suis d'accord avec ton résultat.
Le problème avec ta deuxième méthode est que tu obtiens en fait une équation de sphère et non de cercle donc tu as prouvé l'appartenance des points de l'intersection à une autre sphère ce qui ne donne pas la solution attendue.
Un cercle dans l'espace ne peut pas être défini par une seule équation cartésienne (même problème que la droite), il faudrait envisager ce cercle comme l'intersection de deux objets (sphère+plan par exemple), tout comme on peut envisager une droite comme l'intersection de deux plans.
Cette deuxième méthode est donc erronée et il faut plutôt retenir la méthode du projeté orthogonal qui, elle, est valide.
Est-ce plus clair ?

Merci pour votre réponse.

il faudrait envisager ce cercle comme l'intersection de deux objets (sphère+plan par exemple)

C'est ce que j'ai envisagé par le système suivant:
(x+2)²+(y-1)²+z²=29 : sphère
x-2y-5z-1=0 : plan

Ou peut être je n'ai pas bien compris le sens de votre phrase.

Bonjour,
ce que je veux dire c'est que considérer un cercle de l'espace comme intersection d'une sphère et d'un plan oblige à définir ce cercle par un système de deux équations (comme pour une droite).
Ce système ne peut pas être réduit à une seule équation, c'est ce que tu as essayé de faire mais cela ne décrira pas le cercle intersection.
Cela décrira un autre objet de type sphère comme je te l'ai dit dans mon précédent message.
Cette piste ne mènera pas à une équation cartésienne du cercle car cela n'existe pas dans l'espace.
Bonne continuation