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Résoudre une forme indéterminée
Posté : ven. 17 déc. 2021 17:46
par Valérie
Bonjour, je n'arrive pas à résoudre cette forme indéterminée pour trouver la limite en 0 de (1/x) 2^(-1/x)
J'ai essayé d'utiliser les techniques qu'on nous a donné en cours: factoriser, développer, changer de variable mais je n'arrive pas à la résoudre. Est ce que vous pourriez m'aider ?
Merci d'avance
Re: Résoudre une forme indéterminée
Posté : ven. 17 déc. 2021 18:47
par sos-math(21)
Bonjour,
on parle bien de la limite suivante : \(\lim_{x\to 0, x>0}\dfrac{1}{x}\times 2^{-\dfrac{1}{x}}\) ?
À gauche de 0, il n'y a pas de problème, la limite est \(-\infty\).
À droite, il faudrait faire un changement de variable. Connais-tu le logarithme ?
Il faudrait l'utiliser pour exprimer ta puissance de 2 sous la forme d'une exponentielle puis faire un changement de variable.
\(f(x)=\dfrac{1}{x}\times 2^{-\dfrac{1}{x}}=\dfrac{1}{x}\times \text{e}^{-\dfrac{\ln(2)}{x}}\), puis faire le changement de variable \(X=\dfrac{-\ln(2)}{x}\)
Je te laisse poursuivre.
Re: Résoudre une forme indéterminée
Posté : ven. 17 déc. 2021 20:50
par Invité
sos-math(21) a écrit : ↑ven. 17 déc. 2021 18:47
Bonjour,
on parle bien de la limite suivante : \(\lim_{x\to 0, x>0}\dfrac{1}{x}\times 2^{-\dfrac{1}{x}}\) ?
À gauche de 0, il n'y a pas de problème, la limite est \(-\infty\).
À droite, il faudrait faire un changement de variable. Connais-tu le logarithme ?
Il faudrait l'utiliser pour exprimer ta puissance de 2 sous la forme d'une exponentielle puis faire un changement de variable.
\(f(x)=\dfrac{1}{x}\times 2^{-\dfrac{1}{x}}=\dfrac{1}{x}\times \text{e}^{-\dfrac{\ln(2)}{x}}\), puis faire le changement de variable \(X=\dfrac{-\ln(2)}{x}\)
Je te laisse poursuivre.
En x--->0+ f(x)=2^(-1/x)/x: on pose X=1/x ----> +infini
On se ramène à : X/2^X ---> 0 quand X----> +infini
Re: Résoudre une forme indéterminée
Posté : ven. 17 déc. 2021 21:31
par sos-math(21)
Bonjour,
il est inutile de citer le message situé juste au-dessus dans le forum.
D'autre part, votre proposition est recevable dans l'absolu mais ne rentre pas dans le cadre du programme de terminale qui n'aborde les croissances comparées qu'entre l'exponentielle de base \(\text{e}\) et les puissances de \(x\), d'où le choix du changement de variable dans mon précédent message.
Bonne continuation
Re: Résoudre une forme indéterminée
Posté : mer. 29 déc. 2021 00:59
par Invité
Bonjour, si on avais (1/x^2) (2^(-1/X)), comment on fais pour trouver la limite en 0?
J'ai essayé le changement de variable mais je n'ai pas réussi.
Merci d'avance
Re: Résoudre une forme indéterminée
Posté : mer. 29 déc. 2021 09:36
par SoS-Math(9)
Bonjour,
Il faut faire le changement de variable \(X= \frac{ln(2)}{x}\), tu obtiens alors \(\frac{1}{(ln(2))^2}X^2e^{-X}=\frac{1}{(ln(2))^2}\frac{X^2}{e^X}\).
Il te reste à utiliser la limite de référence de \(\frac{e^X}{X^n}\) en \(+\infty\).
SoSMath.