Question analyse

[lama]

Bonjour,
SVP comment répondre à cette question :
Soit f une fonction dérivable sur [0 ; 1] tel que f(0)=0 et f(1)=1
Montrer qu'il existe un réel c ∈ [0 ; 1[
tel que f(c)=(1+c)/(1−c)

[sos-math(21)]

Bonjour
es-tu sûr(e) de ton énoncé ?
Si on prend par exemple la fonction $f$ définie par $f(x)=x$, $f$ est bien dérivable et on a $f(0)=0$ et $f(1)=1$.
et la droite représentant $f$ ne rencontre pas la courbe représentative de la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{1+x}{1-x}$ sur $[0\,;\,1[$ donc il n'existe pas de réel $c$ sur cet intervalle tel que $f(c)=\dfrac{1+c}{1-c}$.

Merci de préciser afin que nous puissions t'aider.

[lama]

Bonjour
Peut etre que c'est une faute d'impression, je crois qu'en inversant le dénominateur avec le numérateur ça fera l'affaire donc je crois que f(c)=(1−c)/(1+c)

[sos-math(21)]

Bonjour,
Dans ce cas, je te suggère d’étudier la fonction $g$ définie sur $[0;1]$ par $g(x)=f(x)-\dfrac{1-x}{1+x}$
Tu pourras ensuite appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à cette fonction continue.
Bonne continuation

[lama]

Bonjour,
Dans ce cas, je te suggère d’étudier la fonction $g$ définie sur $[0;1]$ par $g(x)=f(x)-\dfrac{1-x}{1+x}$

Bonjour, d'accord ici l'étude concerne seulement la continuité de la fonction g c'est ça ?
Oui après on a g(0).g(1)<0 donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'existence de ce réel c est vérifié.
En fait je crois que la continuité de f suffirait pour répondre à la question donc pas besoin de savoir qu'elle est dérivable, je me trompe ?
Merci pour votre aide

[sos-math(21)]

Bonjour,
effectivement, la continuité est suffisante pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
L'hypothèse de dérivabilité est simplement plus forte et elle assure surtout la continuité de $f$ et donc celle de $g$.
Ton raisonnement est donc correct.
Bonne continuation

[lama]

Merci merci pour votre aide

[sos-math(21)]

Bonjour,
je verrouille le sujet.
Bonne continuation et à bientôt sur sos-math