Couples d'entiers naturels

[Julien]

Bonjour, merci de m'aider pour mon dm de maths je ne comprend pas comment faire svp
Sujet:
On considère l'équation : x^2 - 5y^2 =1 où x et y sont des entiers naturels.
On suppose que (x;y) est un couplé solution de l'équation.
1. x et y peuvent-ils avoir la même parité? Justifier.
2. Démontrer que x et y sont premiers entre eux.
3. Compléter un tableau que je ne peux pas reproduire mais j'ai compris (pour trouver les restes de la division euclidienne de k^2 par 5 avec k allant de 0 à 4.
Je trouve dans l'ordre : 0,1,-1,-1,1.
4. En déduire que x=(congru) 1 (5) ou x=(congru) 4 (5).

Merci beaucoup à ceux qui pourront m'aider.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour la parité, si tu prends deux nombres pairs, cela signifie qu'il existe deux entiers naturels $k$ et $k'$ tels que $x=2k$, $y=2k'$.
En remplaçant dans l'équation, tu obtiens $4k^2-20k'^2=1$ soit $4(k^2-5k'^2)=1$ ce qui est impossible dans les entiers naturels donc contradiction.
De même, si tu les supposes tous les deux impairs, il existe deux entiers naturels $k$ et $k'$ tels que $x=2k+1$, $y=2k'+1$ : je te laisse faire le même raisonnement pour établir le même type de contradiction.
Si tu considère $d$ un diviseur commun à $x$ et $y$, alors $d$ divise $x^2$ et $d$ divise $y^2$ donc $d$ divise $x^2-5y^2=1$, et $d=1$ : les deux nombres sont premiers entre eux.
Pour la dernière question, l'équation $x^2-5y^2=1$ est équivalente à $x^2-1=5y^2$ donc $x^2-1$ est divisible par 5 donc est congru à 0 modulo 5, ce que l'on peut écrire aussi $x^2\equiv 1\,[5]$.
Il te reste ensuite à faire le lien avec la question précédente.
Bonne continuation

[Invité]

Merci beaucoup pour ta réponse rapide.
Je pense avoir à peu près compris, je pense y arriver plus facilement merci.

[sos-math(21)]

Bonjour Julien (ou invité ?),
la fin de l'exercice ne devrait pas poser de problème mais il n'y aurait pas d'autres questions ?
J'ai l'impression que l'étude de l'équation n'est pas terminée.
Bonne continuation

[Invité]

Oui je suis Julien désolé.
Et non l'exercice est terminé, merci de ton aide.

[sos-math(21)]

Ok Julien,
donc tu devrais pouvoir terminer ton exercice sans trop de difficultés.
À bientôt sur sos math

[Invité]

En reprenant les questions, je ne comprend pas ta réponse à la question 2.
As-tu sauté des étapes ?

[Invité]

Oui, mais je ne comprend pas t'as réponse à la question 2.
As-tu sauté des étapes ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour la question 2, je reprends mon raisonnement en détaillant davantage (je ne pense pas avoir sauté d'étape dans mon premier message.
Considérons un entier $d$ qui soit un diviseur commun à $x$ et à $y$.
Alors $d\mid x$ et $d\mid y$.
On a par conséquent que $d\mid x^2$ et $d\mid y^2$.
Donc on en déduit que $d\mid x^2-5y^2$ : si un entier divise deux autres entiers, il divise toute "combinaison" de ces deux entiers. Si tu n'es pas convaincu par mon affirmation, tu peux faire la démonstration en disant qu'il existe $k$ tel que $x=kd$ et $k'$ tel que $y=k'd$ puis passer à $x^2$ et $y^2$ et enfin à $x^2-5y^2$.
On a donc dit que $d\mid x^2-5y^2$. Or cette dernière expression est égale à 1 d'après l'équation donc on obtient finalement que $d\mid 1$ donc que $d=1$. Ainsi le seul diviseur commun à $x$ et $y$ est égal à 1 donc leur PGCD est égal à 1 et les nombres sont premiers entre eux.
Est-ce plus clair ?

[Invité]

Oui, merci je pense avoir compris.

[sos-math(21)]

Très bien,
Je verrouille donc le sujet.
À bientôt sur sos-math