SOS-MATH

Bonjour j'ai besoin d'aide pour un exercice :

Soit les points M(1-t;t;t) et M'(1;t';1-t')

Montrer que pour tous réels t et t', MM'²=3(t-1/3)²+2(t'-1/2)²+1/6
- MM'²=(1-1-t)²+(t'-t)²+(1-t'-t)²
en simplifiant : MM'²=-3t'²-2t²+1
je ne trouve pas le résultat demandé...

Pour quelles valeurs de t et t' la distance MM' est elle minimale ?
-est-ce que je dois résoudre l'équation du second degré pour répondre à la question ?

Merci à vous

Bonjour,
pour vérifier que \(MM'^2\) a la forme demandée, il te suffit de développer l'expression proposée et de vérifier qu'elle est bien égale à \(3t^2-2t+2t'^2-2t'+1\) (tu as du faire des erreurs de calculs.)
Tu ne peux pas étudier cette expression du second degré de manière habituelle car elle dépend de deux variables \(t\) et \(t'\).
C'est pour cela qu'on te propose la forme \(f(t,t')=3 \left(t-\dfrac{1}{3}\right)^2+2\left(t'-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{6}\).
Le fait de l'écrire comme la somme de trois nombres positifs te permet de dire que cette distance sera minimale lorsque les carrés seront égaux à 0 :
\(f(t,t')=3\underbrace{\left(t-\dfrac{1}{3}\right)^2}_{=0}+2\underbrace{\left(t'-\dfrac{1}{2}\right)^2}_{=0}+\dfrac{1}{6}\)
c'est-à-dire quand \(t=\ldots\) et \(t'=\ldots\).
Bonne continuation