la fonction partie entière

[Céline]

Bonjour,
je suis en train de faire un exercice sur la fonction partie entière, mais les dernières questions me bloquent.
On nous demande si cette fonction admet une limite en a, "a" étant un réel non entier, et si oui, quelle est cette limite.
Je sais qu'elle admet bien une limite en a puisque à gauche et à droite de a les limites sont égales.
Je ne sais pas comment trouver cette limite.
Aussi, on nous demande sur quels intervalles des réels elle est continue, et en quelles valeurs de R elle ne l'est pas.
Merci beaucoup d'avance,
cordialement.

[sos-math(21)]

Bonjour,
attention, la fonction partie entière n'est pas continue sur les entiers :
Pour un entier naturel \(n\) donné, \(\lim_{x\to n,x<n}x=n\) et \(\lim_{x\to n, x>n}x=n+1\) la limite à gauche et la limite à gauche sont différentes.
Elle est continue sur tout réel autre que les entiers.

Téléchargez la figure ici.

Le fichier GeoGebra attaché à ce message donne la représentation graphique de la fonction partie entière.
Bonne continuation

[Céline]

merci pour votre réponse. en effet, les limites à gauche et à droite quand x tend vers un entier naturel sont différentes,
mais les limites à gauche et à droite quand x tend vers un réel non entier ne sont-elles pas identiques ?
merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
oui bien sûr, c'est ce que j'ai écrit : elle continue en tout réel non entier, donc la limite à gauche est égale à la limite à droite en tout entier non réel.
C'est donc une fonction continue par morceaux.
Bonne continuation

[Céline]

ah d'accord, je n'avais pas compris, merci. Mais, je ne comprends pas comment trouver la limite en a (a est un réel non entier) de cette fonction...

[sos-math(21)]

Ta fonction est constante donc pour un réel \(x\) donné non entier, il existe un unique entier \(n\) tel que \(n<x<n+1\).
Donc \(f(x)=n\) et la limite à gauche est égale à \(n\) tout comme la limite à droite.
Bonne continuation

[Céline]

merci beaucoup pour votre aide

[sos-math(21)]

Bonjour,
tant mieux si cela t'a aidé.
Bonne continuation et à bientôt sur sos-math