SOS-MATH

Bonjour.
Sur un exercice de préparation à une épreuve, je ne parviens pas à faire certaines questions.
Il s'agit d'un exercice sur la géométrie dans l'espace.
Pouvez vous m'aider s'il vous plait ?
Merci !


Enoncé (en vert ce que j'arrive à faire, en rouge, les questions qui me posent problème)

Soit ABCDEFGH le cube représenté ci-contre On considère : 
• I et J les milieux respectifs des segments [AD] et [BC]. 
• P le centre de la face ABFE, c'est-à-dire l'intersection des diagonales (AF) et (BE). 
• Q le milieu du segment [FG]. On se place dans le repère orthonormé (A; 1/2AB; 1/2AD; 1/2AE). 
Dans tout l'exercice, on pourra utiliser les coordonnées des points de la figure sans les justifier. On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (IJ) est x= r  y=1, z= 0 

1. Vérifier qu'une représentation paramétrique de la droite (PQ) est x=1+t y=t z=1+t.

Soient t nombre réel et M(1+t ; t ; 1+t) le point de la droite (PQ) de paramètre t. 
2.a. On admet qu'il existe un unique point K appartenant à la droite (IJ) tel que (MK) soit orthogonale à (IJ). Démontrer que les coordonnées de ce point K sont (1+t ; 1 ; 0). 
b.En déduire que MK=V2+2t (V=racine carrée). 

3. a. Vérifier que y-z=0 est une équation cartésienne du plan (HGB). 
b. On admet qu'il existe un unique point L appartenant au plan (HGB) tel que (ML) soit orthogonale à (HGB). Vérifier que les coordonnées de ce point L sont (1+t ; 1/2+t ; 1/2+t ) 
c. En déduire que la distance ML est indépendante de t. 
4. Existe-t-il une valeur de t pour laquelle la distance MK est égale à la distance ML?




→Pour la question 2.a, je pensais procéder de cette façon mais je ne tombe pas sur le résultat que je devrais trouver à la fin...
Si K appartient à (IJ) alors JI et JK sont colinéaires. Ensuite je pensais calculer le produit scalaire de JK.KM mais cela n'aboutit à rien...

Bonjour,
pour la question 2a, tu veux que les droites (IJ) et (MK) soient orthogonales donc tu peux essayer de traduire cela par le calcul du produit scalaire \(\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{MK}=0\). En utilisant les coordonnées des points connus et les représentations paramétriques des droites, cela devrait de mener à une condition sur les coordonnées de K. Si tu veux que je précise, il me faudrait le schéma afin de voir comment sont placés les différents points.
Bonne continuation

j'avais procédé de la sorte au début mais me suis vite perdu dans les calculs et n'obtenais pas le résultat escompté.
Voici un schéma de la figure :

Bonjour,
merci pour le schéma c'est plus clair.
Tu as les coordonnées suivantes \(P(1;0;1), Q(2;1;2), I(0;1;0), J(2;1;0)\) donc \(\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\)
Donc si un point \(K\) appartient à \((IJ)\), alors il existe un réel \(t'\) tel que \(\overrightarrow{IK}=t'\overrightarrow{IJ}\) donc en passant aux coordonnées, on a \(K(2t';1;0)\).
On reprend la condition énoncée sur l'orthogonalité : \(\overrightarrow{MK}.\overrightarrow{IJ}=0\) ce qui équivaut à \(\begin{pmatrix}2t'-(1+t)\\1-t\\-(1+t)\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}=0\) donc en calculant le produit scalaire, ceci équivaut à \(2(2t'-(1+t))=0\) donc \(2t'=1+t\).
Donc \(K(2t';1;0)\) a bien pour coordonnées \(K(t+1;1;0)\).
C'est bien ce qu'il fallait démontrer.
Bonne continuation