SOS-MATH

Bonjour
j'ai du mal à répondre à cette question : Montrer que \(\forall x\epsilon \mathbb{R} ; x-\sqrt{x^{2}+1}< 0\)
(sans utiliser les variations de la fonction en question)
Merci de m'aider SVP

Bonjour,
as tu essayé de mettre \(x^2 \) en facteur sous la racine?
SoS-math

Bonjour,
tu peux aussi, après avoir prouvé que \(x+\sqrt{x^2+1}>0\), effectué le produit \((x-\sqrt{x^2+1})(x+\sqrt{x^2+1})=x^2-(x^2+1)=-1\) (identité remarquable \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\))
Tu as donc ce produit qui sera négatif et comme le deuxième facteur est positif, cela signifie que le premier facteur est négatif.
Bonne continuation

* pour ce qui est de mettre x² en facteur sous la racine ok mais ça sort de la racine en \(\left | x \right |\)
et si discute selon x on aura alors 2 expressions l'une d'entre elles difficile à développer
*et la 2eme proposition, je ne vois pas comment prouver que \(x+\sqrt{x^{2}+1}> 0\) ? je crois que ça revient au même car en élevant au carré je tombe sur 1=0 !

Bonjour,
pour montrer que \(x+\sqrt{x^2+1}>0\), tu as \(x^2+1>x^2\) donc \(\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2} (=|x|)\) donc \(x+\sqrt{x^2+1}>x+|x|>0\).
En revanche, ce que tu dis ensuite m'étonnerait

je crois que ça revient au même car en élevant au carré je tombe sur 1=0 !

Tu dois faire une erreur dans ton développement.
Je t'encourage à reconsidérer ma proposition.

ouiii merciii c'est joli votre démonstration que \(x+\sqrt{x^{2}+1}> 0\) seulement après ça je devrai expliquer pourquoi \(\left | x \right |+x> 0\) , n'est ce pas ?
moi j'ai essayé de résoudre l'équation en mettant la racine isolée dans un coté et après avoir élever au carré il n'y aura plus de x voila
Mais pour l'autre proposition de faire sortir x² en facteur je ne sais pas comment continuer
\(x-\sqrt{x^{2}+1}=x-\left | x \right |\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\) et après ? est ce que je dois discuter selon x et avoir du coup 2 expressions à développer ?
Merci pour votre effort

Bonjour,
si \(x<0\), alors \(x+|x|=x-x=0\)
Si \(x\geqslant 0\), \(x+|x|=x+x=2x\geqslant 0\).
Donc pour tout \(x\), \(x+|x|\geqslant 0\) donc comme on a prouvé que \(x+\sqrt{x^2+1}\) était strictement supérieur à \(x+|x|\), on a bien prouvé que \(x+\sqrt{x^2+1}\) était strictement positive.
Pour l'autre méthode, il faut en effet discuter en fonction du signe de \(x\) :
si \(x<0\), alors \(x-\sqrt{x^2+1}=x-|x|\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}=x+x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}=x\left(1+\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\right)<0\)
si \(x\geqslant 0\), alors \(x-\sqrt{x^2+1}=x-|x|\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}=x-x\sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}=x\underbrace{\left(1-\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\right)}_{<0}<0\)
En espérant avoir été clair...
Bonne continuation

Oui très très très clair , juste une dernière question svp, pourquoi on ne peut pas procéder à la façon ordinaire et classique de résoudre les inéquations (par étapes) ? (isoler la racine et la mettre seule dans un coté, puis former les conditions éventuelles sous formes d'intervalles , puis Résoudre l'inéquation en élevant au carré ses deux membres, .. puis on vérifie la réponse si elle vérifie l'intervalle de condition. On dirait que cette procédure classique ne marche pas sur cette exemple , non ?

Dans ton cas, on te demandait de prouver une inégalité, pas de résoudre une inéquation, même si on peut s'y ramener...
Donc le réflexe est plutôt d'étudier l'expression en cherchant à la factoriser et étudier le signe des facteurs ou encore transformer l'expression pour la rendre plus simple à étudier : c'est ce que je te propose avec la multiplication par l'expression conjuguée.
Mais il y a peut-être plus simple quoique je ne pense pas que l'on puisse s'exonérer d'une discussion selon le signe de \(x\).
Bonne continuation

D'accord, merci pour votre aide, j'ai beaucoup appris

Bonne continuation et à bientôt sur sos-math

Invité a écrit : ↑

lun. 1 févr. 2021 17:07

Bonjour
j'ai du mal à répondre à cette question : Montrer que \(\forall x\epsilon \mathbb{R} ; x-\sqrt{x^{2}+1}< 0\)
(sans utiliser les variations de la fonction en question)
Merci de m'aider SVP

Bonjour,
Tu peux résoudre directement : x < sqrt(x²+1)
pour x<0 : un nombre négatif est toujours < un nombre positif,
pour x> 0 : cette inéquation est équivalente à x² < x²+1 <====> 0 < 1 quelque soit x>0.
puis conclure.