Bijections
Bijections
Bonsoir à tous ! Voici un exercice que je n'arrive pas du tout à faire, étant donné qu'on n'a pas étudié la notion de bijection en classe pour l'instant. Pourriez-vous me donner une piste pour le premier pour voir si j'arrive à faire les autres svp ?
Une fonction f est une bijection d'un intervalle K dans un intervalle L si tout nombre de L possède un antécédent et un seul dans K par f. Cela permet d'identifier les deux ensembles K et L par une unique correspondance. Par exemple on peut identifier les nombres naturels pairs et les nombres naturels impairs par la bijection qui à un nombre pair n=2k (n>0) associe le nombre impair 2k+1.
A tout nombre pair il correspond un nombre impair unique (principe d'une fonction) mais surtout à tout nombre impair il correspond un nombre pair unique dont il est l'image.
1) f(x)= x² est-elle une bijection de [-1;1] sur [0;1] ?
2) f(x)= x² est-elle une bijection de [1;4] sur [0;16] ?
3) f(x)= x² est-elle une bijection de ]-∞;0] sur [0;+∞[ ?
4) f(n)= 2n est-elle une bijection de ℕ dans ℕ ?
Merci d'avance :)
Une fonction f est une bijection d'un intervalle K dans un intervalle L si tout nombre de L possède un antécédent et un seul dans K par f. Cela permet d'identifier les deux ensembles K et L par une unique correspondance. Par exemple on peut identifier les nombres naturels pairs et les nombres naturels impairs par la bijection qui à un nombre pair n=2k (n>0) associe le nombre impair 2k+1.
A tout nombre pair il correspond un nombre impair unique (principe d'une fonction) mais surtout à tout nombre impair il correspond un nombre pair unique dont il est l'image.
1) f(x)= x² est-elle une bijection de [-1;1] sur [0;1] ?
2) f(x)= x² est-elle une bijection de [1;4] sur [0;16] ?
3) f(x)= x² est-elle une bijection de ]-∞;0] sur [0;+∞[ ?
4) f(n)= 2n est-elle une bijection de ℕ dans ℕ ?
Merci d'avance :)
-
- Messages : 1859
- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: Bijections
Bonjour Rose,
1) Que dire de f(-1) et de f(1) ?
2) On sent que la réponse est oui. Pour le démontrer, on peut dresser un tableau de variation et justifier par la monotonie et la continuité...
Bon courage
1) Que dire de f(-1) et de f(1) ?
2) On sent que la réponse est oui. Pour le démontrer, on peut dresser un tableau de variation et justifier par la monotonie et la continuité...
Bon courage
Re: Bijections
1) (-1)²=1² Du coup ce n'est pas une bijection vu que c'est différent de 0 ?
2) D'accord je vais faire ça.
Que veut dire bijection ? Je ne comprends pas ce terme vous pourriez m'expliquer ? :)
2) D'accord je vais faire ça.
Que veut dire bijection ? Je ne comprends pas ce terme vous pourriez m'expliquer ? :)
-
- Messages : 3480
- Enregistré le : ven. 25 nov. 2016 14:24
Re: Bijections
Bonjour Rose,
Soit f une fonction de E dans F. f est une bijection de E vers F signifie que :
tout élément de E a une unique image dans F; tout élément de F a un unique antécédent dans E
Autre définition
Soit f une application de E dans F. f est une bijection de E vers F signifie que tout élément de F a un unique antécédent dans E.
Pour le 1)
1 a deux antécédents 1 et (-1) donc ce n'est pas une bijection
SoS-math
Soit f une fonction de E dans F. f est une bijection de E vers F signifie que :
tout élément de E a une unique image dans F; tout élément de F a un unique antécédent dans E
Autre définition
Soit f une application de E dans F. f est une bijection de E vers F signifie que tout élément de F a un unique antécédent dans E.
Pour le 1)
1 a deux antécédents 1 et (-1) donc ce n'est pas une bijection
SoS-math
Re: Bijections
Merci !
Pour la 2) j'ai dressé un tableau de variations. Je peux dire que la fonction f(x)=x² est décroissante sur ]-∞; 0[ et croissante sur ]0;+∞[, elle est non continue sur ℝ, mais uniformément continue sur tout intervalle fermé, borné. (ce qui est notre cas)
f(1)= 1²=1
f(4)=4²=16
[f(1);f(4)] ∈ [0;16]. 16 et 1 ont tous deux un antécédent dans ℝ, donc la fonction carrée est une bijection de [1;4] sur [0;16].
Pour la 2) j'ai dressé un tableau de variations. Je peux dire que la fonction f(x)=x² est décroissante sur ]-∞; 0[ et croissante sur ]0;+∞[, elle est non continue sur ℝ, mais uniformément continue sur tout intervalle fermé, borné. (ce qui est notre cas)
f(1)= 1²=1
f(4)=4²=16
[f(1);f(4)] ∈ [0;16]. 16 et 1 ont tous deux un antécédent dans ℝ, donc la fonction carrée est une bijection de [1;4] sur [0;16].
-
- Messages : 599
- Enregistré le : ven. 17 nov. 2017 09:31
Re: Bijections
La fonction carrée est continue sur IR (sa courbe sur IR se trace "sans lever le stylo de la feuille").
Par contre, elle n'est pas monotone sur IR.
Sur [1;4], f est strictement croissante et l'intervalle image est [f(1);f(4)] soit [1²;4²] autrement dit [1;16].
f est une bijection de [1;4] sur [1;16]... et pas [0;16].
Bonne recherche
sosmaths
Par contre, elle n'est pas monotone sur IR.
Sur [1;4], f est strictement croissante et l'intervalle image est [f(1);f(4)] soit [1²;4²] autrement dit [1;16].
f est une bijection de [1;4] sur [1;16]... et pas [0;16].
Bonne recherche
sosmaths
Re: Bijections
D'accord !
Pour la 3) c'est faux je pense. Par exemple si on prend un nombre qui se situe dans l'intervalle ]-∞;0]: (-3)²= 9 mais 3²= 9 aussi donc 9 a deux antécédents.
Pour la 4) par contre c'est une suite ? Je peux faire un résonnement par récurrence ?
Pour la 3) c'est faux je pense. Par exemple si on prend un nombre qui se situe dans l'intervalle ]-∞;0]: (-3)²= 9 mais 3²= 9 aussi donc 9 a deux antécédents.
Pour la 4) par contre c'est une suite ? Je peux faire un résonnement par récurrence ?
-
- Messages : 599
- Enregistré le : ven. 17 nov. 2017 09:31
Re: Bijections
Bonjour Rose,
Attention, pour le 3), comme pour chaque question, pose-toi les questions suivantes :
* quel est le sens de variation de f sur l'intervalle I considéré ? (Ici, I = ]-oo;0])
* L'intervalle image de I par f est-il l'intervalle donné dans l'énoncé (Ici, J = [0;+oo[)
Si tu construis le tableau de variation de la fonction carrée sur I et que tu complètes ton tableau avec l'image de 0 par f et la limite de f en -oo, tu auras ta réponse.
Pour le 4), f n'est plus définie sur un intervalle mais sur l'ensemble IN des entiers naturels.
Demande-toi si tout entier naturel p est l'image d'un entier naturel par f, autrement dit si tout entier naturel p a un antécédent par f.
Tu peux te poser la question pour p = 6 et p = 7 par exemple... et tu auras ta réponse.
Bonne recherche
Sosmaths
Attention, pour le 3), comme pour chaque question, pose-toi les questions suivantes :
* quel est le sens de variation de f sur l'intervalle I considéré ? (Ici, I = ]-oo;0])
* L'intervalle image de I par f est-il l'intervalle donné dans l'énoncé (Ici, J = [0;+oo[)
Si tu construis le tableau de variation de la fonction carrée sur I et que tu complètes ton tableau avec l'image de 0 par f et la limite de f en -oo, tu auras ta réponse.
Pour le 4), f n'est plus définie sur un intervalle mais sur l'ensemble IN des entiers naturels.
Demande-toi si tout entier naturel p est l'image d'un entier naturel par f, autrement dit si tout entier naturel p a un antécédent par f.
Tu peux te poser la question pour p = 6 et p = 7 par exemple... et tu auras ta réponse.
Bonne recherche
Sosmaths
Re: Bijections
3) Je ne sais pas si ce que j'ai écrit est juste... La fonction est décroissante sur l'intervalle ]-oo;0]. L'intervalle image de ]-oo;0] est [0;+oo[, car c'est une parabole, il y a une symétrie. L'image de 0 par f est f(0)=0²=0. La limite en −∞ est +∞ et la limite en +∞ est également +∞. Merci je ne pensais pas que la notion de limite devait intervenir ici :) Grâce à ces éléments je peux conclure qu'il y a une bijection ?
4) Pour p=6 ça marche, car 2*3=6. Mais pour p=7 non, car 2*3,5=7, or 3,5 ∉ ℕ. Ca suffit si je mets seulement ce contre-exemple ?
4) Pour p=6 ça marche, car 2*3=6. Mais pour p=7 non, car 2*3,5=7, or 3,5 ∉ ℕ. Ca suffit si je mets seulement ce contre-exemple ?
-
- Messages : 599
- Enregistré le : ven. 17 nov. 2017 09:31
Re: Bijections
4) parfait pour le contre-exemple : 7 n'a pas d'antécédent donc l'image de IN par f n'est pas IN.
En réalité l'image de IN par f est l'ensemble des entiers naturels pairs.
3) Quelques modifications dans ta rédaction, la limite en +oo par exemple n'a pas lieu d'être précisée ici car on étudie f sur ]-oo;0] uniquement.
La fonction est décroissante sur l'intervalle ]-oo;0]. L'image de 0 par f est f(0)=0²=0. La limite de f en −∞ est +∞ . L'intervalle image de ]-oo;0] est donc [0;+oo[. Grâce à ces éléments je peux conclure que f est une bijection de ]-oo;0] vers [0;+oo[.
Bonne recherche
sosmaths
En réalité l'image de IN par f est l'ensemble des entiers naturels pairs.
3) Quelques modifications dans ta rédaction, la limite en +oo par exemple n'a pas lieu d'être précisée ici car on étudie f sur ]-oo;0] uniquement.
La fonction est décroissante sur l'intervalle ]-oo;0]. L'image de 0 par f est f(0)=0²=0. La limite de f en −∞ est +∞ . L'intervalle image de ]-oo;0] est donc [0;+oo[. Grâce à ces éléments je peux conclure que f est une bijection de ]-oo;0] vers [0;+oo[.
Bonne recherche
sosmaths
Re: Bijections
Merci beaucoup !! :) J'ai pu compléter mon exercice, mais surtout comprendre les notions abordées même si elles n'ont pas été vues en classe.
A bientôt!
A bientôt!
-
- Messages : 3480
- Enregistré le : ven. 25 nov. 2016 14:24
Re: Bijections
Bonne continuation
A bientôt sur le forum
SoS-math
A bientôt sur le forum
SoS-math