Bijections

Retrouver tous les sujets résolus.
Répondre
Rose

Bijections

Message par Rose » sam. 5 déc. 2020 16:29

Bonsoir à tous ! Voici un exercice que je n'arrive pas du tout à faire, étant donné qu'on n'a pas étudié la notion de bijection en classe pour l'instant. Pourriez-vous me donner une piste pour le premier pour voir si j'arrive à faire les autres svp ?

Une fonction f est une bijection d'un intervalle K dans un intervalle L si tout nombre de L possède un antécédent et un seul dans K par f. Cela permet d'identifier les deux ensembles K et L par une unique correspondance. Par exemple on peut identifier les nombres naturels pairs et les nombres naturels impairs par la bijection qui à un nombre pair n=2k (n>0) associe le nombre impair 2k+1.
A tout nombre pair il correspond un nombre impair unique (principe d'une fonction) mais surtout à tout nombre impair il correspond un nombre pair unique dont il est l'image.

1) f(x)= x² est-elle une bijection de [-1;1] sur [0;1] ?
2) f(x)= x² est-elle une bijection de [1;4] sur [0;16] ?
3) f(x)= x² est-elle une bijection de ]-∞;0] sur [0;+∞[ ?
4) f(n)= 2n est-elle une bijection de ℕ dans ℕ ?

Merci d'avance :)
SoS-Math(25)
Messages : 1859
Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39

Re: Bijections

Message par SoS-Math(25) » sam. 5 déc. 2020 16:38

Bonjour Rose,


1) Que dire de f(-1) et de f(1) ?

2) On sent que la réponse est oui. Pour le démontrer, on peut dresser un tableau de variation et justifier par la monotonie et la continuité...

Bon courage
Rose

Re: Bijections

Message par Rose » sam. 5 déc. 2020 18:41

1) (-1)²=1² Du coup ce n'est pas une bijection vu que c'est différent de 0 ?
2) D'accord je vais faire ça.

Que veut dire bijection ? Je ne comprends pas ce terme vous pourriez m'expliquer ? :)
SoS-Math(33)
Messages : 3480
Enregistré le : ven. 25 nov. 2016 14:24

Re: Bijections

Message par SoS-Math(33) » dim. 6 déc. 2020 09:25

Bonjour Rose,
Soit f une fonction de E dans F. f est une bijection de E vers F signifie que :
tout élément de E a une unique image dans F; tout élément de F a un unique antécédent dans E
Autre définition
Soit f une application de E dans F. f est une bijection de E vers F signifie que tout élément de F a un unique antécédent dans E.

Pour le 1)
1 a deux antécédents 1 et (-1) donc ce n'est pas une bijection
SoS-math
Rose

Re: Bijections

Message par Rose » dim. 6 déc. 2020 11:53

Merci !

Pour la 2) j'ai dressé un tableau de variations. Je peux dire que la fonction f(x)=x² est décroissante sur ]-∞; 0[ et croissante sur ]0;+∞[, elle est non continue sur ℝ, mais uniformément continue sur tout intervalle fermé, borné. (ce qui est notre cas)
f(1)= 1²=1
f(4)=4²=16
[f(1);f(4)] ∈ [0;16]. 16 et 1 ont tous deux un antécédent dans ℝ, donc la fonction carrée est une bijection de [1;4] sur [0;16].
SoS-Math(34)
Messages : 599
Enregistré le : ven. 17 nov. 2017 09:31

Re: Bijections

Message par SoS-Math(34) » dim. 6 déc. 2020 12:36

La fonction carrée est continue sur IR (sa courbe sur IR se trace "sans lever le stylo de la feuille").
Par contre, elle n'est pas monotone sur IR.
Sur [1;4], f est strictement croissante et l'intervalle image est [f(1);f(4)] soit [1²;4²] autrement dit [1;16].
f est une bijection de [1;4] sur [1;16]... et pas [0;16].

Bonne recherche
sosmaths
Rose

Re: Bijections

Message par Rose » lun. 7 déc. 2020 12:00

D'accord !

Pour la 3) c'est faux je pense. Par exemple si on prend un nombre qui se situe dans l'intervalle ]-∞;0]: (-3)²= 9 mais 3²= 9 aussi donc 9 a deux antécédents.

Pour la 4) par contre c'est une suite ? Je peux faire un résonnement par récurrence ?
SoS-Math(34)
Messages : 599
Enregistré le : ven. 17 nov. 2017 09:31

Re: Bijections

Message par SoS-Math(34) » lun. 7 déc. 2020 15:02

Bonjour Rose,

Attention, pour le 3), comme pour chaque question, pose-toi les questions suivantes :
* quel est le sens de variation de f sur l'intervalle I considéré ? (Ici, I = ]-oo;0])
* L'intervalle image de I par f est-il l'intervalle donné dans l'énoncé (Ici, J = [0;+oo[)
Si tu construis le tableau de variation de la fonction carrée sur I et que tu complètes ton tableau avec l'image de 0 par f et la limite de f en -oo, tu auras ta réponse.

Pour le 4), f n'est plus définie sur un intervalle mais sur l'ensemble IN des entiers naturels.
Demande-toi si tout entier naturel p est l'image d'un entier naturel par f, autrement dit si tout entier naturel p a un antécédent par f.
Tu peux te poser la question pour p = 6 et p = 7 par exemple... et tu auras ta réponse.

Bonne recherche
Sosmaths
Rose

Re: Bijections

Message par Rose » lun. 7 déc. 2020 16:49

3) Je ne sais pas si ce que j'ai écrit est juste... La fonction est décroissante sur l'intervalle ]-oo;0]. L'intervalle image de ]-oo;0] est [0;+oo[, car c'est une parabole, il y a une symétrie. L'image de 0 par f est f(0)=0²=0. La limite en −∞ est +∞ et la limite en +∞ est également +∞. Merci je ne pensais pas que la notion de limite devait intervenir ici :) Grâce à ces éléments je peux conclure qu'il y a une bijection ?

4) Pour p=6 ça marche, car 2*3=6. Mais pour p=7 non, car 2*3,5=7, or 3,5 ∉ ℕ. Ca suffit si je mets seulement ce contre-exemple ?
SoS-Math(34)
Messages : 599
Enregistré le : ven. 17 nov. 2017 09:31

Re: Bijections

Message par SoS-Math(34) » lun. 7 déc. 2020 22:31

4) parfait pour le contre-exemple : 7 n'a pas d'antécédent donc l'image de IN par f n'est pas IN.
En réalité l'image de IN par f est l'ensemble des entiers naturels pairs.

3) Quelques modifications dans ta rédaction, la limite en +oo par exemple n'a pas lieu d'être précisée ici car on étudie f sur ]-oo;0] uniquement.
La fonction est décroissante sur l'intervalle ]-oo;0]. L'image de 0 par f est f(0)=0²=0. La limite de f en −∞ est +∞ . L'intervalle image de ]-oo;0] est donc [0;+oo[. Grâce à ces éléments je peux conclure que f est une bijection de ]-oo;0] vers [0;+oo[.

Bonne recherche
sosmaths
Rose

Re: Bijections

Message par Rose » mar. 8 déc. 2020 19:22

Merci beaucoup !! :) J'ai pu compléter mon exercice, mais surtout comprendre les notions abordées même si elles n'ont pas été vues en classe.
A bientôt!
SoS-Math(33)
Messages : 3480
Enregistré le : ven. 25 nov. 2016 14:24

Re: Bijections

Message par SoS-Math(33) » mar. 8 déc. 2020 20:59

Bonne continuation
A bientôt sur le forum
SoS-math
Répondre