SOS-MATH

Bonsoir. Je bloque sur un exercice de maths expertes sur les matrices, dont les questions préliminaires portent sur les fonctions. Je n'arrive pas à répondre aux questions ... Pourriez-vous me donner une piste svp ?

Voici l'énoncé:

Soit f une fonction d'un intervalle K dans R:
On appelle image de l'intervalle K l'ensemble des valeurs f(x) quand x ∈ (a;b).

1. Quelle est l'image de (1;4) par f(x) = 3x+2 ?
2. Quelle est l'image de l'intervalle (-5; -1( par f(x) = 1/x ?
3. Quelle est l'image de )-2;3) par f(x) = x² ?
4. Quel intervalle a pour image )0;1) par f(x) = e^x ?

Merci d'avance :)

Bonjour
Tu parles d’image d’un couple de valeurs alors que ta fonction dépend d’une seule variable.
Ou alors tu parles d’image d’un intervalle....
Dans ce cas, tu as intérêt à connaître le sens de variation de ta fonction.
Par exemple si ta fonction f est croissante sur \([a;b]\), alors l’image de cet intervalle est l’intervalle \([f(a);f(b)]\)
Je te laisse appliquer cela pour ton premier exemple.

Oui c'est [a;b] entre crochets désolée ! C'est des intervalles je ne trouvais pas la touche crochets sur mon clavier :')

Pour la 1) alors je fais:

f(1)= 3*1+2= 5
f(4)= 3*4+2= 14

Donc l'image de [1;4] par f(x) est égale à [5;14]. C'est tout ce que je dois écrire ?

Bonjour,
il faut que tu précises que ta fonction est strictement croissante (et continue), c'est ce qui te permet de dire que l'image de l'intervalle est l'intervalle formé par les images des bornes.
Bonne poursuite.

D'accord je comprends mieux :)

Pour la 2) ça donnerait:

La fonction f(x)= 1/x est décroissante sur ]-∞;0[ et décroissante sur ]0;+∞[ , elle est donc non continue.
f(-5)= 1/-5= -1/5
f(-1)= 1/-1= -1 (je ne suis pas sûre pour celle-ci vu qu'elle n'est pas comprise dans l'intervalle...)

L'image serait donc [-1/5; -1[ ?

Pour la 3):

La fonction f(x)=x² est décroissante sur ]-∞; 0[ et croissante sur ]0;+∞[, elle est non continue sur R, mais uniformément continue sur tout intervalle fermé et borné. Or ]2;3] n'est pas un intervalle fermé.

f(2)= 0
f(3)= 9

L'image serait ]0;9] ?

Bonjour Anna,

pour la question 2) la fonction est décroissante (et continue) donc l'image de [-1/5; -1[ sera ]f(-1) ; f(-1/5)]. (attention à l'ordre ...-1 < -1/5).

pour la question 3) pourquoi enlèves-tu 0 ? 0 \(\in\)]2 ; 3] et f(0) = 0, donc 0 appartient à ton ensemble image.

SoSMath.

Ah oui merci !
Si je récapitule alors:

1) L'image de [1;4] par f(x) est égale à [5;14].
2) L'image de [-5; -1[ par la fonction inverse est ]-1; -1/5].
3) L'image de ]-2; 3] par la fonction carrée est [0;9], (car 0 ∈ ]-2 ; 3])

4) La fonction f(x)= e^x est strictement croissante sur R et continue. Donc l'image de l'intervalle est l'intervalle formé par les images des bornes.
e^0= 1
e^1= 2,718
L'image de ]0;1] par la fonction exponentielle f(x)= e^x est [1; 2,718] ?

Bonjour,

Oui, c'est cela pour les question 1) 2) et 3).
Attention au 4), 2,718 n'est pas la valeur exacte de e. e est un irrationnel, tout comme \(\pi\) par exemple : tu ne peux donc pas écrire sa valeur exacte sous forme décimale.
L'image de l'intervalle ]0;1] par la fonction exp est donc ]1;e].

Bonne continuation
sosmaths

D'accord merci énormément pour votre aide :D

A bientôt

Bonne continuation
A bientôt sur le forum
SoS-math