Exponentielle et sens de variation

[Léa]

Bonjour,
On étudie ici l'évolution du taux d'équipement des ménages français en lecteurs de DVD depuis 1998.

De 1998 à 2010:
Les valeurs constatées du taux d'équipement amènent à estimer, pour l'année 1998+ x, pour \(0\leq x\leq 12\), le taux d'équipement en lecteurs de DVD, en %, par:

\(f(x)=\frac{85}{1+150e^{-x}}\)

Déterminer le sens de variation de f sur \(\left [ 0;12 \right ]\).

J'ai donc fait la dérivée pour trouver le tableau de signes et ainsi les variations de f(x).

\(f'(x)=\frac{12750e^{-x}}{(1+150e^{-x})^2}\)

Je sais que f(x) est définie sur \(\left [ 0;12 \right ]\).
Il me semble que je dois chercher les valeurs interdites, ce que j'ai essayé de faire. Cependant, je ne les trouve pas car je suis bloquée par l'exponentielle. J'ai essayé comme ceci, mais je ne pense pas que ce soit la bonne méthode:
\(1+150e^{-x}=0\)
\(150e^{-x}=-1\)
\(150e^{-x}=-e^{0}\)

En y réfléchissant je ne suis pas sûre de devoir les chercher puisque l'on me dit que f(x) est définie sur \(\left [ 0;12 \right ]\)...
Merci d'avance pour votre aide,
Bonne journée.

[SoS-Math(33)]

Bonjour Léa,
petit rappel la fonction exponentielle est strictement positive donc le dénominateur de ta fonction ne peut pas s'annuler, donc il n'y a pas de valeurs interdites.
Ce qui est normal puisque l'on te dit dans l'énoncé que la fonction est définie sur [0 ; 12].
SoS-math

[Léa]

Ah, je comprends mieux,
Merci beaucoup.

[Léa]

Rebonjour,
Je dois maintenant déterminer le point d'inflexion de la courbe représentative de f.

J'ai donc cherché la dérivée seconde \(f''(x)\)
\(f'(x)=\frac{12750e^{-x}}{(1+150e^{-x})^2}\)

Je sais que la dérivée seconde est de la forme: \(f''(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)


Je souhaitais savoir si v était bien égal à \((1+150e^{-x})^2\)
Et \(v'=2w'w\)
\(w'= -150e^{-x}\)
\(w=1+150e^{-x}\)

\(v'=2\times (-150e^{-x})\times(1+150e^{-x})\)
\(v'=2\times (-150e^{-x}-22500(e^{-x})^2)\)
\(v'=-300e^{-x}-45000(e^{-x})^2\)
\(v'=e^{-x}(-300-45000e^{-x})\)

Donc:
\(u=12750e^{-x}\)
\(u'=-12750e^{-x}\)
\(v=(1+150e^{-x})^2\)
\(v'=e^{-x}(-300-45000e^{-x})\)

Est-ce que v et v' sont corrects?

Merci d'avance pour votre réponse,
Léa

[sos-math(21)]

Bonjour,
tes calculs me semblent corrects, tu dois obtenir à la fin
\(h''(x)=\dfrac{12750e^{-x}(150e^{-x}-1)}{(1+150e^{-x})^{\color{red}3}}\)
Je laisserais donc les dérivées sous la forme factorisée pour avoir la simplification par \(1+150e^{-x}\)
\(\require{cancel} h''(x)=\dfrac{-12750e^{-x}\times (1+150e^{-x})^{\cancel{2}}-12750e^{-x}\times 2\times (-150e^{-x})\times\cancel{ (1+150e^{-x})}}{(1+150e^{-x})^{\cancel{4} 3}}\)
Et tu factorises ensuite par \(12750e^{-x}\).
Bon calcul, tu dois trouver un point d'inflexion à l'abscisse \(\ln(150)\).

[Léa]

Bonjour,

\(h''=\frac{12750e^{-x}(-1+150e^{-x})}{(1+150e^{-x})^2}\)

Je suis désolée mais je n'ai pas compris comment le dénominateur devient \((1+150e^{-x})^2\)
et ne reste pas \((1+150e^{-x})^3\)
Aussi, je ne comprends pas comment calculer le point d'inflexion à l'aide de la dérivée seconde, car, étant exponentielle elle est strictement supérieure à 0 non? Alors elle ne peut pas s'annuler?

Merci d'avance pour votre réponse.

[sos-math(21)]

Bonjour,
C'est une erreur de ma part, c'est bien \((1+150e^{-x})^3\) au dénominateur (et non \((1+150e^{-x})^2\)), c'est d'ailleurs ce que j'avais marqué quand j'ai déroulé mon calcul dans le message précédent

Bonjour,
tes calculs me semblent corrects, tu dois obtenir à la fin
\(h''(x)=\dfrac{12750e^{-x}(150e^{-x}-1)}{(1+150e^{-x})^{\color{red}3}}\)
Je laisserais donc les dérivées sous la forme factorisée pour avoir la simplification par \(1+150e^{-x}\)
\(\require{cancel} h''(x)=\dfrac{-12750e^{-x}\times (1+150e^{-x})^{\cancel{2}}-12750e^{-x}\times 2\times (-150e^{-x})\times\cancel{ (1+150e^{-x})}}{(1+150e^{-x})^{\cancel{4} 3}}\)
Et tu factorises ensuite par \(12750e^{-x}\).
Bon calcul, tu dois trouver un point d'inflexion à l'abscisse \(\ln(150)\).

Si on est maintenant d'accord avec le calcul de la dérivée, à savoir \(f''(x)=\frac{127500e^{-x}(150e^{-x}-1)}{(1+150e^{-x})^{3}}\)
Alors ta dérivée s'annule lorsque son numérateur s'annule, donc lorsque \(127500e^{-x}(150e^{-x}-1)=0\). Comme \(127500e^{-x}>0\), cela ne peut arriver que si :
\(150e^{-x}-1=0\).
Cette équation a une solution que je te laisse trouver il s'agit d'obtenir \(e^{-x}=...\) puis de passer au logarithme pour récupérer la valeur de \(-x\) puis la valeur de \(x\) qui doit valoir \(\ln(150)\).
Bonne continuation, avec mes excuses pour la faute de frappe qui t'a peut-être déroutée