Exo II

[Clémence]

rebonsoir voici un autre exo

https://www.cjoint.com/data/JKibgw4RArZ_exo-II.png

je suis bloquée aux questions 4, 5, 6 et 8.

Pourriez vous me donner des pistes de résolution svp ?
je trouve pas de contre exemple pour 4 et 5....

merci !

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour la 4, une application est injective quand tout élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un antécédent, c'est-à-dire que si \(f(x)=f(y)\) alors \(x=y\) ou encore que deux éléments distincts ont des images distinctes.
Pour montrer que \(g\) n'est pas injective, il suffit de trouver deux éléments distincts qui ont même image : essaie de calculer \(g(1,2,3)\) et \(g(2,1,3)\).
Pour la surjection, c'est un peu plus délicat. On part d'un couple \((a, b)\) et on cherche \((x,y,z)\) tels que \(g(x,y,z)=(a,b)\) cela signifie que
\(\left\lbrace\begin{array}{l}x+y+z=a\\x+y=b\end{array}\right.\) donc on a en remplaçant dans la première équation \(b+z=a\) donc \(z=a-b\).
Ensuite la condition \(x+y=b\) s'écrit \(y=b-x\) donc si on choisit \((a,b-a,a-b)\) (il n'y a pas qu'une seule solution, l'important est de trouver des triplets qui fonctionnent), on a bien \(g(a,b-a,a-b)=(a,b)\) donc \(g\) est surjective.
Bonne continuation

[Invité]

Merci beaucoup j'ai vraiment compris.

Est-ce que vous pourriez m'aider pour la 8 ?

[sos-math(21)]

Il s'agit de faire des compositions :
\(fog(x,y,z)=f(x+y+z,x+y)\) la fonction \(f\) calcule :

• en première composante : la différence entre la première composante et la deuxième : ici cela vaut donc \(x+y+z-(x+y)=z\)
• en deuxième composante : la différence entre la première composante et la deuxième : ici cela vaut donc \(x+y+z-(x+y)=z\)
• en troisième composante : la première composante : ici cela vaut donc \(x+y+z\)

on a donc \(fog(x,y,z)=f(g(x,y,z))=f(x+y+z,x+y)=(z,z,x+y+z)\)
Je te laisse faire la même chose pour \(gof\).
Bonne continuation

[Clémence]

Ah oui merci beaucoup c'est clair djt comme ça.

Par contre pour la 7 en gros j'ai essayé d'aboutir à une contradiction mais j'y arrive pas... C'est quoi la contradiction qu'il faut mettre en évidence ?

[sos-math(21)]

Je pense qu'il y a une erreur dans les valeurs car cela ne mène pas à une contradiction. En revanche si tu prends (1,2,1), on aura bien une contradiction ; en fait il faut exhiber un exemple de valeur de l'ensemble d'arrivée qui n'a pas d'antécédent pour prouver que \(f\) n'est pas surjective.
Tu as ici une fonction injective et non surjective (\(f\)) et une fonction surjective et non injective (\(g\)).

[Invité]

Ok merci je vais essayer.

Et quelle valeur vous obtenez pour g rond f à la toute dernière question ?

[sos-math(21)]

Un peu d'autonomie de ta part serait appréciable : je suis en train de tout te faire, ce n'est pas la vocation du forum.
Pour le travail de correction/vérification, tu as un professeur pour cela, il faut bien lui laisser un peu de travail.
Bonne continuation

[Invité]

oui je comprend mais ce travail est noté et j'aimerais bien avoir une note correcte, car c'est dur la prépa...

merci de votre compréhension et de m'aider autant en tout cas !

ça me fait progresser. et j'aimerais bien avoir la bonne réponse de g°f...

[SoS-Math(9)]

Bonjour Clémence,

Comme l'a dit mon collègue, on ne va pas faire ton travail.
Propose nous une réponse pour g o f, (regarde la correction donnée pour f o g) et on pourra t'aider.

SoSMath.