Exo I

[Clémence]

Bonsoir

Comme vous m'aviez bien aidée la semaine derniere, je vous renvois quelques exos.
Ces exos sont pour lundi alors que je suis complètement coincée dessus...

Pourriez vous m'aider dans cet exo à faire les questions 2,3 et 5 ?

https://www.cjoint.com/data/JKibjVtqcZH_exo-I.png

je n'y arrive pas du tout, je pense juste qu'il faut faire une double inclusion à la 2, mais pourriez vous me montrer comment rédiger, au moins une inclusion svp ?

Et pour la 3 et la 5 ?

merci bon dimanche à vous !

[sos-math(21)]

Bonjour,
effectivement tu peux travailler par double inclusion :
si \(x\in A\Delta B\) alors \(x\in A\backslash B \,\text{ou}\,x\in B\backslash A\)

• Si \(x\in A\backslash B\) alors cela signifie \(x\in A\) et \(x\notin B\) donc en traduisant par "négation" \(x\notin \overline{A}\) et \(x\in \overline{B}\) donc cela traduit le fait que \(x\in \overline{B}\backslash \overline{A}\)
• le même raisonnement permet de dire que si \(x\in B\backslash A\) alors \(x\in \overline{A}\backslash \overline{B}\)

Donc au final on a montré \(A\Delta B\subset \overline{A}\Delta \overline{B}\)
Il faut faire l'autre inclusion qui fonctionne de la même manière.
Pour les autres c'est sensiblement la même démarche : il faut s'attacher à traduire l'appartenance à chaque ensemble par des conditions que l'on exploite.
Bonne continuation

[Invité]

Bonjoir merci d'avoir répondu

Est-ce que vous pourriez juste me dire comment raisonner pour la question 5 ? Celle ci je n'y arrive vraiment pas...

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour l'existence, c'est assez évident \(A\Delta A=\emptyset\).
Pour l'unicité, il suffit de voir que \(A\Delta B=A\cup B\backslash A\cap B\) donc si \(A\Delta X=\emptyset\) alors \(A\cup X=A\cap X\) ce qui implique (à détailler) \(A=X\).
Bonne continuation

[Invité]

Ah oui merci !

Et pour la question 3 comment faut-il s'y prendre ?

J'ai essayé de faire une double inclusion encore, mais ça fonctionne pas trop. ..

[sos-math(21)]

Il faut utiliser les propriétés des fonctions indicatrices :
\(\mathbb{1}_{A\cap B}=\mathbb{1}_{A}\times \mathbb{1}_{B}\)
\(\mathbb{1}_{A\cup B}=\mathbb{1}_{A}+ \mathbb{1}_{B}-\mathbb{1}_{A\cap B}=\mathbb{1}_{A}+ \mathbb{1}_{B}-\mathbb{1}_{A}\times \mathbb{1}_{B}\)
Tu devrais t'en sortir avec cela

[Invité]

D'accord merci je connaissais pas ces propriétés des fonctions indicatrices !

Mais ce qui me pose problème c'est la barre dans la définition de la différence symétrique.

On n'a pas de propriété là dessus avec la fonction indicatrice si ?

[sos-math(21)]

La barre est une différence donc c'est le signe - dans les opérations avec les fonctions indicatrices.

[Invité]

Je comprends pas, pourquoi la barre est une différence ?

Je parle de cette barre : \

Ça me pose problème des la question 1...

[sos-math(21)]

\(A\backslash B\) correspond aux éléments de \(A\) auxquels on enlève les éléments de \(B\) qui sont dans \(A\) : on fait bien une sorte de différence...
Cela correspon aussi à \(A\cap \overline{B}\) donc \(\mathbb{1}_{A\backslash B}=\mathbb{1}_{A\cap\overline{B}}=\mathbb{1}_{A}\times \mathbb{1}_{\overline{B}}=\mathbb{1}_A\times (1-\mathbb{1}_{B})=\mathbb{1}_{A}-\mathbb{1}_{A}\times \mathbb{1}_B\)

[Invité]

OK merci !

Pour la question 2, j'ai un doute : est ce qu'il faut d'abord exprimer A triangle B différemment de ce qui est écrit dans l'énoncé, avec uniquement des symboles union et intersection ? Et après on passerait au complémentaire ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Clémence,

Oui, c'est exactement ce qu'il faut faire pour la question2.

SoSMath.