SOS-MATH

Bonjour,
Problème : prouver que f(x)=xexp(x)-1 admet un minimum absolue sur R.
Réponse :
Au lieu de dériver et de faire un tableau de variation,
j'ai juste calculé la limite en moins l'infini qui vaut -1 et en plus l'infini qui vaut plus l'infini et alors j'ai dit que comme f est continue sur R, forcément elle admet un minimum.
Est-ce correct ?
Merci !
C.

Bonjour,
la notion de minimum \(m\) d'une fonction \(f\) sur un ensemble ordonnée \(E\) présuppose l'existence d'un réel \(a\), tel que \(f(a)=m\), c'est-à-dire qu'un minimum est atteint, c'est la plus petite des images.
Il ne faut pas confondre minimum et borne inférieure.
Par exemple la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\) est continue, minorée et possède une borne inférieure qui vaut 0 mais elle ne possède pas de minimum.
Donc si tu n'établis que tes limites aux bornes de \(\mathbb{R}\), ta fonction peut très bien être strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), auquel cas ta limite \(-1\) en \(-\infty\) sera une borne inférieure mais ne constituera pas un minimum.
Il faut donc que tu étudies la fonction et que tu établisses son tableau de variation.
As-tu saisi la différence ?
Bonne continuation

Bonjour,
oui, merci beaucoup, j'ai bien compris la différence entre minimum (qui est atteint) et borne inférieure (qui n'est pas forcément atteinte) et qui est le meilleur minorant en quelque sorte.
Cordialement,
C.

A bientôt Cédric sur le forum.

SoSMath.