SOS-MATH

Bonjour, je n'arrive pas à comprendre les résultats de cet exercice. Je bloque à partir des questions 2. Je ne comprends pas pourquoi on a 2^5 pour le fait de choisir a ou b et je ne comprends pas non plus les réponses suivantes. Pourriez vous s'il vous plait m'expliquer ?
merci

Un QCM comporte quinze questions. Pour chaque question, on choisit une réponse parmi les quatre proposées notées a,
b, c, d.
1) De combien de façons différentes peut-on répondre à ce questionnaire ?
2) De combien de façons différentes peut-on répondre à ce questionnaire ?
a- En choisissant parmi les réponses a ou b pour les cinq premières questions ?
b- En choisissant au moins une fois la réponse a ?
c- En répondant correctement aux neuf premières questions ?
d- En répondant correctement à neuf questions exactement ?
1) On peut répondre de quatre façons à chaque question, et ce quinze fois de suite.
4^15 = 1 073 741 824. On peut répondre de 1 073 741 824 façons possibles.
2) a- 2^5 * 4^10 = 33 554 432. On peut répondre de 33 554 432 façons possibles.
b- 4^15 – 3^15 = 1 045 044 010. On peut répondre de 1 045 044 010 façons possibles.
c- 19 * 4^6 = 4096. On peut répondre de 4 096 façons possibles.
d- 4096 * C(9/15)= 20 500 480. On peut répondre de 20 500 480 façons possibles.

Bonjour Elodie,

Pour la question 2)a), tu peux décomposer tes réponses en deux parties :
* pour les 5 premières questions, tu as 2 choix à chaque réponse (a ou b), donc cela fait \(2\times2 \times2 \times2 \times2= 2^{5}\) possibilités. (tu peux faire un arbre pour te convaincre qu'il s'agit bien de multiplications qui se répétent)
* pour les 10 suivantes, tu as 4 choix à chaque réponse (a, b, c ou d) : donc cela fait \(4\times4 \times4 \times... \times4= 4^{10}\) possibilités.
Au total, tu as donc \(2^{5}\times 4^{10}\) possibilités.

Question b : Cela revient à enlever tous les questionnaires dont les réponses contiennent uniquement b, c et d.
Combien y a-t-il de questionnaires de ce type ? \(3^{15}\) puisqu'on a 15 questions à 3 choix chacune (b, c et d).
Ainsi, on enlève à l'ensemble de tous les feuilles réponses possibles (\(4^{15}\)) les questionnaires qui ne comportent pas de a (\(3^{15}\) ce qui explique le résultat.

question c : si les réponses aux 9 premières questions sont correctes, cela veut dire que tu n'as le choix dans la réponse que pour les 15 - 9 = 6 questions restantes et pour chacune, tu as 4 choix... je te laisse finir (il n'y a pas de multiplication par 19 dans le résultat contrairement à ce que tu indiques)

Je te laisse réfléchir aux autres questions.

Bonne continuation
Sosmaths