Congruence

[Marine]

Bonsoir !

Je bloque sur les 2 dernières questions d'un exercice de maths expertes à faire pour la rentrée... Voici l'énoncé:

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par: un=9*2^n-6
1) Montrer que pour tout n>1, un est divisible par 6
--> un=9*2^n-6
=18*2^(n-1)-6
=6*(3*2^(n-1)-1)
Or (3*2^(n-1)-1) est un entier relatif pour tout entier n>1. Donc un est bien divisible par 6.

2)Pour tout n>0, on pose: vn=un/6. Que penser de l'affirmation "pour tout n>1, vn est un nombre entier ?"
--> Celle-là je l'ai réussie également c'est un peu long à recopier

3)Démontrer que si n est congru 2 modulo 4, alors un est divisible par 5
4)Le nombre un est-il divisible par 5 pour les autres valeurs de l'entier n ? Justifier la réponse.

Je bloque sur les deux dernières :( Merci par avance pour votre aide :)

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Marine,

Pour la question 3, tu peux traduire ton hypothèse "n est congru 2 modulo 4" par il existe k un entier tel que n = 4k + 2
Démontre alors que \(u_n=36 \times (16)^k - 6\) et utilise le fait que \(16\equiv 1 [5]\) pour démontrer que \(u_n\) est divisible par 5.

Pour la question 4, utilise un contre-exemple ...

Bon courage,
SoSMath.

[Marine]

Si n = 4k + 2, alors:
Un = 9 x 2^(4k+2) - 6
= 9 x 4 x 2^(4k)- 6
= 36 x (2^4)^k - 6.

Or: 2^4 est congru 1 [ 5 ] .
D’où: Un est congru 36 x (1)^k - 6 [ 5 ]
Un est congru 36 - 6 [ 5 ]
Un est congru 30 [ 5 ]
donc Un est congru 0 [ 5 ] .

Au total si n = 4k + 2, alors, Un est bien divisible par 5 car Un est congru 0 [ 5 ] .

[SoS-Math(9)]

C'est très bien Marine.

SoSMath.

[Marine]

Super :D

Et pour la 4, si on prend n=4k+7, un=9*2^7*(2^4)^k-6
=1152*(2^4)^k-6
Or (2^4) est congru 1 modulo 5, donc un= 1152-6 congru 5
Mais 1156-6=229*5+1, alors un est congru 1 modulo 5.
On peut en conclure que si n=4k+7, un n'est pas divisible par 5, car un est congru 1 modulo 5. La réponse à l'affirmation est donc non.

[sos-math(21)]

Bonjour,
cela n'a pas d'intérêt de prendre un entier de la forme \(4k+7\) car il est congru à \(4k+3\) lui-même congru à 3 modulo 4.
\(4k+7\equiv 4k+3\equiv 3\mod{4}\)
Il paraît plus donc simple de regarder directement avec les entiers de la forme \(4k+3\).
D'une manière générale, pour faire une étude par disjonction de cas, il faut étudier les différentes écritures d'un entier modulo un autre entier.
Si on regarde modulo 4, tu auras 4 possibilités : \(4k\) (congru à 0 modulo 4), \(4k+1\) (congru à 1 modulo 4), \(4k+2\) (congru à 2 modulo 4), \(4k+3\) (congru à 3 modulo 4).
Ce sont ces cas restants qu'il faudrait étudier.
Bonne continuation