Entiers relatifs

[zac]

Bonjour !

Voici l'énoncé où je bloque:

1) On souhaite déterminer les entiers relatifs n tels que n+7 divise n^2+7
a. En utilisant l'expression n^2+7-(n^2-49), montrer que si n+7 divise n^2+7, alors n+7 divise 56
b. En déduire les réponses au problème posé
2) En s'inspirant de la méthode précédente, montrer qu'il y a toujours au moins quatre entiers relatifs n tels que n+δ divise n^2+δ, où δ est un entier relatif non nul.

Merci d'avance pour votre aide !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Zac,

Sur ce forum nous ne faisons pas les exercices des élèves, on les aide à les résoudre.
Quelle est ta demande ? Où bloques-tu ?

SoSMath.

[zac]

Merci pour votre réponse rapide .

Pour la a, j'ai fait :
n+7/n^2+7-(n^2-49)
n+7/n^2+7-n^2+49
n+7/56

Donc n+7 divise 56.

Après pour la b je ne vois pas comment je pourrais faire..

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Zac,

n+7 divise 56
donc n+7 est un diviseur de 56 ... à toi de déterminer les diviseurs de 56, cela ne doit pas être trop compliqué.

SoSMath.

[zac]

Les diviseurs de 56 sont : -56, -28, -14, -8, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56

Donc après je fais n+7=-56 , n+7=-28, n+7=-14 etc... ? Même si les résultats sont négatifs je les garde vu qu'on cherche des entiers relatifs ?

[SoS-Math(9)]

Oui Zac, c'est très bien.

SoSMaths.

[zac]

Merci :)
Du coup pour la b j'ai pour valeurs de n: -63, -35, -21, -15, -14, -11, -9, -8, -6, -5, -3, 0, 1, 7, 21, 49.

Pour la 2), il faut que je m'inspire des questions auxquelles je viens de répondre, donc puisque dans l'expression de la a., on a n^2+7-(n^2-49), faut-il que je lève δ au carré comme 7 pour 49 ?

[SoS-Math(9)]

Oui Zac !

Il faut alors montrer que n+δ divise n²-δ² et comme n+δ divise n²+δ, alors n+δ divise la différence (n²+δ)-(n²-δ²) =...

SoSMath.

[zac]

Ah oui ! Par transitivité, n+δ/(n^2+δ)-(n^2-δ^2)
n+δ/δ+δ^2
n+δ/δ(δ+1)
Et là.. Comment je peux arriver à démontrer qu'il y a au moins 4 entiers relatifs tels que n+δ/δ(δ+1) ? Comment faire pour isoler n ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Zac,

on retrouve la même méthode ... n+δ/(n^2+δ)-(n^2-δ^2) donc n+δ/(δ-δ^2).
Donc il faut trouver 4 diviseurs de (δ-δ^2)... cela ne doit pas être très compliqué. Je te laisse chercher (pense à factoriser ...)

SoSMath.

[zac]

Ca suffit si je dis que:

δ(δ+1) a au moins 4 diviseurs: δ, (δ+1), -δ; -(δ+1), donc 4 valeurs possibles pour n+1 donc pour n ?

[SoS-Math(9)]

oui Zac.

SoSMath.

[zac]

Merci beaucoup pour votre aide :)

[SoS-Math(9)]

A bientôt Zac.

SoSMath.