SOS-MATH

Dans un exercice on nous a donné : pour tout n\(\geq\)1
\(u_{n}= \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\) , \(v_{n}= u_{n}+\frac{1}{n\times n!},\) et \(e_{n} = v_{n} - u_{n}\)

on démontre dans l'exo que : \(n\geqslant 1 , u_{n} \leq v_{n}\) puisque \(v_{n}-u_{n}=\frac{1}{n\times n!}> 0\)
\(u_{n}\) est croissante et que \(v_{n}\) est décroissante

On doit démontrer que \(u_{n}\) est majorée par \(v_{1}\) et que \(v_{n}\) est minorée.

Mais je n'arrive pas à faire l'hérédité dans les 2 cas.
pouvez-vous m'aider?

Bonsoir,
sur ce forum, la politesse est de rigueur : un message commence par bonjour et se terminer par un merci.
Pour évoquer ton problème (qui ne doit pas relever d'un niveau de terminale).
\((v_n)\) est clairement minorée par 0, ce n'est pas trop difficile à prouver.
En revanche, pour montre que \((u_n)\) est majorée par 3, c'est moins évident.
Tu peux montrer par récurrence que \(u_n=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}\leqslant 1+\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{k-1}}\)
(en fait il s'agit de montrer par récurrence sur \(k\geqslant 1\) que \(k!\geqslant 2^{k-1}\)
Une fois cela fait, tu pourras majorer ta somme des inverses de factorielles par la somme des termes d'une suite géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\)).
Bon travail