SOS-MATH

Bonjour
La question a un devoir que j'ai est de décrire le sous espace engendré par les vecteurs des ensemble suivant {(1,3,1),2,-1,5),-2,5,9)}
j'ai les étapes alors j'ai trouver le déterminant = 0, donc les vecteurs sont linéairement indépendants alors on cherche à déterminer l'ensemble des vecteurs w=(x,y,z)
je me suis rendu a l'étape où je dois résoudre le système suivant a+2b-2c=x ,3a-b+5c=y, a-5b+9c=z en résolvant le système les étapes de mon livre me donne comme réponse
x, y-3x, 2x-y+z le système admet au moins une solution 2x-y+z=0 , mon problème est que je sais comment résoudre le système par la méthode de Gauss mais je ne comprend pas comment
ils arrivent a cette solution comment ils ont trouvé x, y-3x, 2x-y+z ?? et c'est là que je bloque...aidez moi!
Louis

Bonsoir Louis,

D'abord , je pense qu'il y a une erreur, dans ton énoncé, plus précisément je pense que le 5 du 3ème vecteur doit être remplacé par -5.
Ensuite si le déterminant est nul, c'est que les vecteurs sont dépendants et non indépendants. Le sous espace engendré par ces 3 vecteurs est de dimension 1 ou 2. On recherche l'ensemble des vecteurs (x,y,z) qui peuvent s'écrire:
(x,y,z)=a(1,3,1)+b(2,-1,5)+c(-2,5,9) .
Ce système devient
x=a+2b-2c
y=3a-b+5c
z=a-5b+9c
La dimension du sous espace étant au plus 2, on peut fixer a=1: On obtient :
x=1+2b-2c
y=3-b+5c
z=1-5b+9c
Donc (x,y,z)=b(2,-1,-5)+c(-2,5,9)+(1,3,1) Or les deux vecteurs (-2,5,9) et (1,3,1) sont indépendants, donc le sous espace cherché est engendré par ces deux vecteurs et il est donc de dimension 2. (plan)
Dans le premier système en calculant 2x-y+z, on trouve 0, et donc 2x-y+z=0 est l'équation du plan.
Je ne comprends pas moi même comment ils ont fait dans ton livre.
sosmaths

Bonjour
Merci merci merci!!
Louis

A bientôt sur SOS Math