SOS-MATH

Bonjour,

J'ai un exercice en maths que je n'arrive pas à faire..

Soit la suite (Un) définie par U0=0 et Un+1=1/(2-Un) pour tout entier n

A. Calculer les termes U1, U2 et U3. (On les écrira sous forme de fraction irréductible)
B. Conjecturer l'expression de Un en fonction de n pour tout entier n.
C. Démontrer par récurrence votre conjecture.

La A ne me pose pas de problème, mais la B oui... Sachant que j'en ai besoin pour la C (que je sais faire).

A. U1=1/2
U2=2/3
U3=3/4

Merci de votre aide.

Bonjour Ondine,
pour la question B il te faut regarder les premiers termes que tu as calculé et tu dois remarquer une forme apparaitre :
U1=1/2
U2=2/3
U3=3/4
Il semble que U4 serait de la forme 4/5 ; U5 de la forme 5/6 .....etc
et donc Un =\( \frac{...}{...}\)
Vois tu comment l'écrire?

Bonjour,
Je dirais Un=n/(n+1)?
Merci de votre réponse :)

Oui c'est bien ça.
Maintenant faut le démontrer par récurrence.
SoS-math

Merci de votre aide !

Je rédigerais comme cela :

On note la propriété Pn : "Un=n/(n+1)" pour tout entier n.

Initialisation : pour n=0, U0=0 et 0/(0+1)=0/1=0. Donc P0 est vraie.

Hérédité : Supposons que Pn est vraie : "Un=n/(n+1)". Montrons que Pn+1 est vraie : "Un+1=(n+1)/(n+2)".

Un+1=1/(2-Un)
=1/(2-(n)/(n+1))
=1/((2n+2-n)/(n+1))
=1/((n+2)/(n+1))
=(n+1)/(n+2)
Donc Pn+1 est vraie.

Conclusion : P0 est vraie et Pn est héréditaire donc Pn est vraie pour tout entier n.


Est-ce correct ?

Pour l'hérédité, c'est pas plutôt :
il existe n tel que Pn est vraie : "Un=n/(n+1)". Montrons que Pn+1 est vraie : "Un+1=(n+1)/(n+2)"
Sinon ce que tu as fait est correct

Dans mon cours, c'est rédigé comme cela ^^'

En tout cas merci beaucoup pour votre aide !

Rédige comme dans ton cours dans ce cas.
Bonne soirée
A bientôt sur le forum
SoS-math