Bonjour,
Je n'arrive pas à faire mon exercice, j'ai essayé plusieurs fois mais en vain...
Le sujet est :
Démontrer par récurrence que pour tout n,
1+3+5+7+...+(2n+1)=(n+1)^2
Je pensais dire que :
2n+1=(n+1)^2 =Un donc Un+1= 2n+2= (n+2)^2
Mais ça ne marche pas...
Merci d'avance pour votre aide !
Démontrer par récurrence
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Helenna
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Démontrer par récurrence
Bonjour,
on reprend le principe de la démonstration par récurrence. Il s'agit de montrer pour tout entier naturel \(n\) la propriété \(\mathcal{P}_n\) :
\(\displaystyle 1+3+5+\ldots+2n+1=(n+1)^2\)
Initialisation : on regarde ce qui se passe au rang initial, ici \(n=0\), on a d'un côté \(1+\ldots+2n+1=1\) car \(n=0\) et de l'autre côté \((n+1)^2=1^2=1\) donc les deux expressions sont égales et la propriété est vrai au rang 0.
Hérédité : on se place à un rang entier quelconque \(n\) et on suppose que \(\mathcal{P}_n\) est vraie.
On a donc \(\displaystyle 1+3+5+\ldots+2n+1=(n+1)^2\). Si l'on vaut passer au rang \(n+1\), on est amené à calculer
\(\displaystyle 1+3+5+\ldots+2n+1+2(n+1)+1=\displaystyle 1+3+5+\ldots+2n+1+2n+3\)
Or d'après l'hypothèse de récurrence, on a \(\displaystyle 1+3+5+\ldots+2n+1=(n+1)^2\) donc le calcul au rang \(n+1\) devient :
\(\displaystyle \underbrace{1+3+5+\ldots+2n+1}_{=(n+1)^2\,\text{par hyp. de récurrence}}+2n+3=(n+1)^2+2n+3\)
Il reste à "arranger" le membre de droite : je te laisse le développer et tu devrais reconnaitre une identité remarquable de la forme \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) et tu pourras conclure à la véracité de la propriété \(\mathcal{P}_{n+1}\).
Bonne conclusion
on reprend le principe de la démonstration par récurrence. Il s'agit de montrer pour tout entier naturel \(n\) la propriété \(\mathcal{P}_n\) :
\(\displaystyle 1+3+5+\ldots+2n+1=(n+1)^2\)
Initialisation : on regarde ce qui se passe au rang initial, ici \(n=0\), on a d'un côté \(1+\ldots+2n+1=1\) car \(n=0\) et de l'autre côté \((n+1)^2=1^2=1\) donc les deux expressions sont égales et la propriété est vrai au rang 0.
Hérédité : on se place à un rang entier quelconque \(n\) et on suppose que \(\mathcal{P}_n\) est vraie.
On a donc \(\displaystyle 1+3+5+\ldots+2n+1=(n+1)^2\). Si l'on vaut passer au rang \(n+1\), on est amené à calculer
\(\displaystyle 1+3+5+\ldots+2n+1+2(n+1)+1=\displaystyle 1+3+5+\ldots+2n+1+2n+3\)
Or d'après l'hypothèse de récurrence, on a \(\displaystyle 1+3+5+\ldots+2n+1=(n+1)^2\) donc le calcul au rang \(n+1\) devient :
\(\displaystyle \underbrace{1+3+5+\ldots+2n+1}_{=(n+1)^2\,\text{par hyp. de récurrence}}+2n+3=(n+1)^2+2n+3\)
Il reste à "arranger" le membre de droite : je te laisse le développer et tu devrais reconnaitre une identité remarquable de la forme \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) et tu pourras conclure à la véracité de la propriété \(\mathcal{P}_{n+1}\).
Bonne conclusion