SOS-MATH

Bonjour!! j'ai besoin de l'aide

Évaluez si l'intégrale suivante converge et si oui vers quel nombre.

(Exercice en joint)

Je sais faire l'integrale mais comment on sais si sa converge et vers quel nombre est ma difficulté

quelqu'un peut me dire les étapes.

Merci !!!!

Bonjour,
pour établir la convergence d'une intégrale généralisée d'une fonction positive, on peut utiliser les propriétés de comparaison avec une intégrale convergente, notamment une qui est très utilisée est celle que l'on appelle l'intégrale de Riemann définie pour \(a>0\) :

\(\displaystyle \int_a^{+\infty}\dfrac{\text{d}t}{t^{\alpha}}\) converge si et seulement si \(\alpha >1\).

Ta fonction est équivalente à \(\dfrac{1}{t^3}\) donc les intégrales impropres sont de même nature, et comme \(\displaystyle \int_2^{+\infty}\dfrac{\text{d}t}{t^{3}}\) converge, ton intégrale converge aussi.
Pour le calcul de sa valeur, il faut repasser par les intégrales sur un segment \([2\,;\,M]\), trouver une primitive en décomposant ta fraction en éléments simples \(\dfrac{1}{x(x+1)(x-1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x-1}\), calculer la valeur de l'intégrale sur le segment \([1\,;\,M]\) puis faire tendre \(M\) vers \(+\infty\).
Bons calculs