Integrale definie

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Jeremy

Integrale definie

Message par Jeremy » mer. 8 juil. 2020 19:40

Bonjour,
Quelqu'un peut m'aider avec cet exercise !!

À l'aide de la définition d'un intégrale définie:
(en fichier joint)
où ¯x, correspond à l'extrémité droite de chacun des sous-intervalles,
Calculez intégrale (3x^2-2) Bornes 2 et 4 ( fichier joint)


Merci !!! beaucoup
Fichiers joints
Définition intégrale
Définition intégrale
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equation
equation
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sos-math(21)
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Re: Integrale definie

Message par sos-math(21) » mer. 8 juil. 2020 21:05

Bonjour,
dans ton exemple, il s'agit de calculer l'intégrale par la méthode des rectangles, c'est-à-dire avec des sommes de Riemann.
Il faut donc considérer une subdivision régulière de l'intervalle \([2\,;\,4]\) : je te propose de considérer la subdivision \(x_i=a+i\dfrac{b-a}{n}= 2+\dfrac{2i}{n}\), qui aura pour pas le nombre \(h=\dfrac{b-a}{n}=\dfrac{2}{n}\)
On est alors amené à calculer la somme en utilisant la formule consacrée :
\(\displaystyle S_n=\dfrac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)=\dfrac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(3\left(2+\dfrac{2i}{n}\right)^2-2\right)=\dfrac{6}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(2+\dfrac{2i}{n}\right)^2-4=\dfrac{6}{n}\left(\sum_{i=1}^n 4+\dfrac{8i}{n}+\dfrac{4i^2}{n^2}\right)-4\).
Ce qui donne en développant :
\(\displaystyle S_n=24+\dfrac{48}{n^2}\sum_{i=1}^n i+\dfrac{24}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2 -4\)
Je te laisse trouver sur le web la formule donnant la somme des \(n\) premiers entiers (\( \displaystyle \sum_{i=1}^n i\)) et la somme des \(n\) premiers carrés d'entiers (\( \displaystyle \sum_{i=1}^n i^2\)) afin que tu aies une expression qui ne dépende que de \(n\), dans laquelle tu passeras à la limite.
On doit bien retrouver 52 normalement.
Bonne continuation
Jeremy

Re: Integrale definie

Message par Jeremy » mer. 8 juil. 2020 21:21

Alors quand sa dit : À l'aide de la définition d'une intégrale définie, c'est comme a l'aide de la méthode somme Riemann ??

Merci
sos-math(21)
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Re: Integrale definie

Message par sos-math(21) » mer. 8 juil. 2020 21:26

Bonjour,
avec ce que tu m'as donné comme éléments, cela correspond à la notion d'intégrale définie d'une fonction : voir https://math.unice.fr/~yameogo/ensgmt/seco/seco2k10/amphi_5.pdf par exemple.
C'est bien la méthode que j'ai cherché à appliquer ici en passant par les sommes de Riemann.
Bonne continuation
Jeremy

Re: Integrale definie

Message par Jeremy » mer. 8 juil. 2020 22:41

Comment je fais pour verifier à l'aide du théorème fondamentale du calcul integral ?
Jeremy

Re: Integrale definie

Message par Jeremy » mer. 8 juil. 2020 22:55

Après avoir fait ma limites qui tend vers infini je trouve 52 ,,... C'est ça la réponse ??
sos-math(21)
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Re: Integrale definie

Message par sos-math(21) » jeu. 9 juil. 2020 06:29

Bonjour,
Oui c’est bien 52 la valeur de l’intégrale.
C’est bien le théorème d’intégration qui assure que pour une fonction intégrable (ici ta fonction l’est car elle continue : polynôme) sur un segment, la valeur de l’intégrale est la limite des sommes de Riemann.
Bonne continuation
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