Equation différentielle

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Terminale S

Equation différentielle

Message par Terminale S » lun. 29 juin 2020 10:12

Bonjour,

J'aurais une question sur les équations différentielles, puis je la poser ici ?

Merci de votre attention,
A bientôt
sos-math(21)
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Re: Equation différentielle

Message par sos-math(21) » lun. 29 juin 2020 10:25

Bonjour,
si ta question est de niveau lycée (jusqu'à bac +2 mais cela dépend de la question),tu peux effectivement poser ta question sur le forum sos-math.
À bientôt sur sos-math
Terminale S

Re: Equation différentielle

Message par Terminale S » mar. 30 juin 2020 15:16

Bonjour,

Donc si j'ai bien compris, j'ai le droit de poser une question de niveau jusqu'à Bac + 2, c'est ca ?

Je n'ai pas bien compris la méthode pour résoudre une équation différentielle linéaire (du premier ordre et second) avec second membre variable.
En cherchant sur Internet, j'ai trouvé 2 techniques différentes, mais je ne comprends pas comment il faut procéder.

Dans la PJ n °1, l'éq. diff est (E) : y' -2y = :
- il est expliqué qu'il faut chercher la solution de l'éq diff homogène y' - 2y = 0
- puis, on cherche la solution particulière de l'éq diff. Comme le second membre de l'éq diff est , on va travailler avec yo(x) = ax² + bx + c. Donc yo'(x) = 2ax + b. (car comme le second membre est un carré, alors on pour trouver une solution particulière, on prend un polynôme de degré 2).
- on va chercher y' - 2y = 0 ce qui donne 2ax + b - 2ax² - 2bx - 2c = x².
- On a 2 polynômes qui sont égaux. Ils sont égaux si et seulement si leur coefficient respectifs sont égaux. Grace à cette propriété, on va chercher a, b et c.

On additionne la solution générale et particulière pour avoir la solution de (E)

Dans la PJ n°2, l'éq diff est (E) : y + y' = sin(t) :
- la solution de l'éq diff homogène y + y' = 0 est lambda.e^-t, avec lambda réel. On va travailler avec cette solution lambda.e^-t. Ce n'était pas le cas dans l'exemple précédent, où on a sorti ax² + bx + c "d'un chapeau" (avec des guillemets bien sur, car il est lié au x²).
- puis, on procède de la même façon qu'avec la PJ n°1. On a y(x) = lambda(t).e^-t (lambda est maintenant une fonction !) et y'(x) = [lambda(t)]' e^-t + lambda(t). -e^-t = [lambda(t)]' e^-t - lambda(t).e^-t
Pourquoi a ton ce "changement" de lambda ? Il est d'abord un réel, puis une fonction.
- on recherche une solution particulière, on a donc lambda(t).e^-t [lambda(t)]' e^-t - lambda(t).e^-t = sin(t)
<=> [lambda(t)]' e^-t = sin(t)
<=> [lambda(t)]' = sin(t).e^t
On intègre pour obtenir lambda (t)

On additionne la solution générale et particulière pour avoir la solution de (E)

J'espère que vous n'etes pas trop occupé, et que mon message ne vient pas vous dérager (oui.. je sais, c'est long !)

Pièces jointes
Fichiers joints
PJ2.png
PJ1.png
sos-math(21)
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Re: Equation différentielle

Message par sos-math(21) » mar. 30 juin 2020 19:17

Bonjour,
la résolution des équations différentielles recouvre un ensemble de techniques qui répondent à différentes situations.
Dans ton cas, on a affaire à une équation différentielle linéaire d'ordre 1 \(ay'+by=c\) où \(a,b,c\) sont des fonctions.
Dans ce cas, les solutions sont structurées d'une certaine manière (structure d'espace vectoriel), c'est-à-dire qu'on peut les écrire sous une certaine forme.
En fait, on démontre que les solutions sont de la forme \(f_0+g\) où \(f_0\) est une solution particulière de l'équation de départ et \(g\) est la solution générale de l'équation différentielle sans second membre \(ay'+by=0\), ce qu'on appelle l'équation différentielle linéaire homogène.
La résolution de l'équation différentielle homogène mène à une solution sous forme d'exponentielle et ne pose pas de problème particulier.
En revanche, pour la recherche d'une solution particulière, cela dépend de la forme du second membre \(c(t)\).
On a alors un catalogue de méthodes spécifiques selon la forme de ce second membre. S'il n'y a rien dans les recettes toutes faites, il reste une méthode générique, qui s'appelle la variation de la constante et qui consiste à reprendre la forme générale de l'équadif homogène qui est de la forme \(x\mapsto k\text{e}^{u(x)}\) et à rechercher une solution de l'équadif complète sous la forme \(x\mapsto k(x)\text{e}^{u(x)}\) : on rend le coefficient constant "variable" et l'on remplace \(y\) par cette fonction et \(y'\) par sa dérivée dans l'équadif afin de chercher une solution de cette forme.
Sous réserve qu'une intégration soit possible, on trouve alors une solution particulière et la résolution est terminée.
C'est vrai que cette méthode est un peu "magique" et c'est un peu déroutant lorsqu'on la découvre car cela n'a rien de naturel en terme d'heuristique : cela marche mais on a du mal à voir pourquoi cela marche et comment "on" a pu penser à cela.
En fait cela arrive parfois qu'on ait des méthodes non intuitives mais qui marchent : il faut alors s'en convaincre en travaillant la démonstration car la méthode de la variation de la constante s'appuie sur une démonstration qui confirme sa validité.
Voilà, je t'ai exposé la méthode générale et je te donne un lien vers un cours bien rédigé et plutôt clair là-dessus : https://www.math.u-bordeaux.fr/~smarques/cours/SVE/eqdiff.pdf
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
Terminale_S

Re: Equation différentielle

Message par Terminale_S » mar. 30 juin 2020 21:03

Merci pour cette réponse très détaillée, merci d'avoir pris le temps d'écrire tout ça ! Je comprends mieux maintenant !
Il reste quelques points qui me chiffonnent:

1/
Vous avez dit: "S'il n'y a rien dans les recettes toutes faites, il reste une méthode générique, qui s'appelle la variation de la constante et qui consiste à reprendre la forme générale de l'équadif homogène qui est de la forme x↦ke^u(x) et à rechercher une solution de l'équadif complète sous la forme x↦k(x)e^u(x) : on rend le coefficient constant "variable" et l'on remplace y par cette fonction et y′ par sa dérivée dans l'équadif afin de chercher une solution de cette forme."
Le y et y' viennent de cette expression, c'est ca ? ay′+by=c où a,b,c sont des fonctions (en rouge), est ce juste ?

2/ x↦ke^u(x) est la solution de l'équation homogène, c'est ca ?

3/ La méthode que vous m'avez expliqué dans votre précédent message correspond à la PJ n°2 (voir plus haut), si j'ai bien compris. Pourquoi n'a t'on pas pu faire cela avec la PJ n°1 ?

4/
Sous réserve qu'une intégration soit possible, on trouve alors une solution particulière et la résolution est terminée
Que devons nous faire si une intégration n'est pas possible ? Une IPP ?

Merci pour votre lien, je vais y jeter un coup d'oeil
sos-math(21)
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Re: Equation différentielle

Message par sos-math(21) » mer. 1 juil. 2020 10:13

Bonjour,
je réponds à tes questions :
Le y et y' viennent de cette expression, c'est ca ? ay′+by=c où a,b,c sont des fonctions (en rouge), est ce juste ?
Oui, on note une équation différentielle sous cette forme, mais il faudrait noter de manière plus précise \(a(t)y'(t)+b(t)y(t)=c(t)\) où \(a,b,c\) sont des fonctions données et à valeurs dans \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) pour les équations différentielles linéaires scalaires du premier ordre.
Les inconnues sont les fonctions \(y\) et \(y'\).
x↦ke^u(x) est la solution de l'équation homogène, c'est ca ?
Oui c'est la forme générale des solutions d'une équation linéaire du premier ordre sans second membre (homogène).
La méthode que vous m'avez expliqué dans votre précédent message correspond à la PJ n°2 (voir plus haut), si j'ai bien compris. Pourquoi n'a t'on pas pu faire cela avec la PJ n°1 ?
La méthode de la variation de la constante est une méthode générique qui marche en théorie, sauf qu'elle se conclut par une intégrale et toutes les intégrales ne se calculent pas de manière exacte. Elle peut s'appliquer au premier cas mais on se retrouve à calculer une primitive de \(x\mapsto x^2\text{e}^{-2x}\), ce qui se fera à l'aide d'une double intégration par parties (on trouve à la fin une solution particulière \(x\mapsto -\dfrac{1}{2} x^{2} - \dfrac{1}{2} x - \dfrac{1}{4}\)), donc pas simple si l'on compare avec la recherche directe d'une solution sous la forme d'un polynôme de degré 2.
Que devons nous faire si une intégration n'est pas possible ? Une IPP ?
J'ai répondu en partie à ce problème dans mon utilisation de la variation de la constante dans le premier cas : une double IPP a été nécessaire.
Au niveau terminale, il n'y a guère que cela.
Bonne continuation
Terminale S

Re: Equation différentielle

Message par Terminale S » mer. 1 juil. 2020 20:28

Bonjour SOS 21,

Merci de votre réponse. Il me reste quelques questions:

1/ Question de vocabulaire : que signifie "équations différentielles linéaires scalaires du premier ordre" ? C'est une expression que vous avez employé dans votre message précédent. J'ai appris qu'une équation différentielle linéaire => pas de puissance; et équation différentielle du premier ordre => une seule dérivée, pas de dérivée seconde. Mais que signifie scalaire ?

2/ Question de vocabulaire : pourquoi appelle t-on cette méthode "méthode de la variation de la constante" ? Est ce que c'est lié au fait que dans l'expression k^eu(x), le coefficient k constant est rendu variable ? (Comme ce que vous avez dit dans votre message du mardi 30 juin, à 19h17)

3/ Si j'ai bien compris, la méthode de la variation de la constante permet de trouver la solution d'une équation différentielle avec second membre VARIABLE. Cette méthode aboutit à une intégration (intégration "classique" ou IPP).
Mais comme, parfois, la calcul d'intégrale n'est pas la façon la plus simple de procéder (comme cas n°1 de mon deuxième message), on peut rechercher directement une solution sous la forme d'un polynôme de degré 2.
Est ce juste ?

Merci pour votre attention ! Votre aide est précieuse !

PS: je me rends compte qu'il peut arriver que le site inverse les PJ dans mon deuxième message. Le cas 1 correspond à la PJ où l'écriture est manuscrite. Le cas 2 correspond à la PJ avec une capture d'écran
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Re: Equation différentielle

Message par sos-math(21) » mer. 1 juil. 2020 20:38

Bonjour,
1) j'ai précisé scalaire (cela signifie à valeur dans un corps (de nombres)) pour dire que le fonctions en jeu étaient à valeurs réelles ou complexes. En effet, les équations différentielles linéaires peuvent aussi utiliser des vecteurs, par exemple des n-uplets de fonctions, auquel cas, on a des matrices et des vecteurs en jeu. Au niveau terminale, c'est une précision inutile car toutes les équations différentielles sont scalaires.
2) Oui, c'est lié au fait qu'on reprend la forme générale de la solution de l'équation homogène en considérant le coefficient variable au lieu de constant : on fait varier la constante d'où l'expression de "variation de la constante".
3) C'est exactement cela : la méthode de la variation de la constante est universelle (elle s'applique à tous les cas) mais elle n'est pas optimale, parfois même elle mène à des impasses. Souvent, dans un problème, les questions guident les candidats pour qu'ils emploient telle ou telle méthode afin de ne pas faire une recherche en aveugle.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
Terminale S

Re: Equation différentielle

Message par Terminale S » jeu. 2 juil. 2020 12:00

Merci Monsieur (ou Madame), vous m'avez beaucoup aidé !

J'ai juste une dernière question. La "méthode la variation de la constante" est parfois appelée "méthode de la superposition de la constante" . Tout d'abord, sommes nous d'accord qu'il s'agit d'une même méthode ? Pourquoi appelle t on cette méthode "superposition" ? Que superpose t on ?

PS: je vais créer un nouveau sujet sur les IPP, j'espère qu'on se "reverra".
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Re: Equation différentielle

Message par sos-math(21) » jeu. 2 juil. 2020 12:48

Bonjour,
je n'ai jamais entendu cette dénomination pour la méthode de la variation de la constante ; en revanche, dans le domaine des équations différentielles, il existe le principe de superposition qui affirme que, pour connaître les solutions d'une équations différentielle linéaire, il suffit de trouver la forme générale des solutions de l'équation homogène (sans second membre) et de lui additionner une solution particulière, autrement dit on trouve toutes les solutions en ajoutant une solution particulière aux solutions de l’équation homogène.
N'y aurait-il pas confusion ? Si tu peux me donner un lien vers un site qui parle de superposition des constantes, je suis preneur.
Pour terminer, je te donne un lien vers un cours que je trouve bien fait : http://exo7.emath.fr/cours/ch_equadiff.pdf
Bonne continuation
Terminale S

Re: Equation différentielle

Message par Terminale S » jeu. 2 juil. 2020 15:18

Oui, je pense avoir confondu le principe de superposition et la méthode de la variation de la constante.

Merci Monsieur pour votre attention et pour votre aide !
Merci pour vos liens,
A bientot !
sos-math(21)
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Re: Equation différentielle

Message par sos-math(21) » jeu. 2 juil. 2020 15:19

Bonne continuation et à bientôt sur sos-maths
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