Calcul 2 Integrale

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Antoine

Calcul 2 Integrale

Message par Antoine » lun. 29 juin 2020 04:49

Salut !

j'ai de la misère a trouver l'équation dans le problème suivant : Comme vous le savez, lorsqu'un cours se termine les élèves commencent à oublier la matière étudiée. Un modèle prédit que le taux auquel un élève oublie la matière est proportionnel à la différence entre le pourcentage de la matière dont il se souvient actuellement et le pourcentage minimal de retention. Sarah a un taux de rétention minimal de 50%. À la fin d'un cours, elle a assimilé 95% de la matière mais une semaine plus tard, elle ne se souvient plus que de 80% de la matière.

L'examen a lieu 3 semaines après le cours. Si Sarah ne fait pas de révision, quel sera le pourcentage de matière dont elle se souviendra à l'examen?

Quelqu'un peut m'aider avec le début ou quelque chose merci !!!!!
sos-math(21)
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Re: Calcul 2 Integrale

Message par sos-math(21) » lun. 29 juin 2020 11:01

Bonjour,
je ne suis pas sûr de bien comprendre l'énoncé mais je vais essayer de fournir une réponse.
Je pense qu'il faut raisonner en terme d'équation différentielle. Si on note \(f(t)\) le pourcentage (décimal) du contenu encore en mémoire dans le candidat au bout de \(t\) jours, alors on a \(f(0)=0{,}95\) et \(f(7)=0{,}8\).
Et le taux d'oubli, c'est-à-dire la dérivée de la fonction \(f\) est proportionnel à la différence entre le pourcentage au temps considéré (donc \(f(t)\) et un pourcentage minimal, ici \(0{,}5\) donc on a \(f'(t)=k(f(t)-0{,5})\).
Tu aboutis à une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants que tu peux résoudre de manière formelle : voir la page wikipedia (Cas où a, b et c sont des constantes non nulles) : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89qua ... 27ordre_un
Les informations \(f(0)=0{,}95\) et \(f(7)=0{,}8\) te permettront de déterminer \(k\) et le coefficient devant l'exponentielle.
Normalement, avec mon calcul, on trouve un pourcentage de 54% au bout de 3 semaines.
Bonne continuation
Antoine

Re: Calcul 2 Integrale

Message par Antoine » lun. 29 juin 2020 19:18

Est-ce que vous pourriez me presenter vos calcul de l'équation différentielle celles avant le calcul de la constante car moi j'obtiens 4.5 semaine et je crois mon erreur est dans le calcul de l'équation différentiel..

Merci Beaucoup
Antoin

Re: Calcul 2 Integrale

Message par Antoin » lun. 29 juin 2020 20:01

Pardonnez moi je trouve 63.33%
ma fonction est f(t)= 0.5+45(2/3)^t
sos-math(21)
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Re: Calcul 2 Integrale

Message par sos-math(21) » lun. 29 juin 2020 20:09

Bonjour,
si tu regardes la méthode de la page wikipedia (https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle_lin%C3%A9aire_d%27ordre_un#Cas_o%C3%B9_a,_b_et_c_sont_des_constantes_non_nulles) : si une équation différentielle est de la forme \(y'=my+p\) alors la solution est de la forme \(f(t)=C\text{e}^{mt}-\dfrac{m}{p}\), donc si on a \(f'(t)=kf(t)-0{,}5k\), alors on a \(m=k\) et \(p=-0{,}5k\)
donc \(f(t)=C\text{e}^{kt}+0{,}5\).
Quand on regarde en \(t=0\), \(f(0)=0,95=C+0{,}5\) donc \(C=0,45\).
Ensuite, quand on regarde en \(t=7\), on a \(f(7)=0,45\text{e}^{7k}+0,5=0,8\) donc \(k=\dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{3}\right)}{7}\approx -0,05792\)
Donc \(f(21)\approx 0,633\) (ce n'est pas 0,54 contrairement à ce que je t'ai dit, j'ai dû faire une erreur de calcul).
Es-tu d'accord avec ces calculs ?
Bonne continuation
sos-math(21)
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Re: Calcul 2 Integrale

Message par sos-math(21) » lun. 29 juin 2020 20:14

Bonsoir,
je suis d'accord avec le résultat mais ton expression de \(f\) diffère de la mienne...
Il doit manquer un facteur 7 quelque part... et ce serait plutôt 0,45, non ?
Je te laisse vérifier et le cas échéant, je te remercie de m'indiquer si moi aussi j'ai fait une erreur.
Bonne continuation
Touhami

Re: Calcul 2 Integrale

Message par Touhami » lun. 29 juin 2020 21:49

Bonsoir
Je n'ai pas tout suivi mais il me semble que c'est plutôt
f(1)=0.80 étant donné qu'on parle (que) de semaine.

Cordialement.
Antoine

Re: Calcul 2 Integrale

Message par Antoine » lun. 29 juin 2020 21:50

Moi j'ai pas de facteur 7 car ma variable t dans mes calcule représente le temps par semaine et 7 jours= 1 semaine

Toi tu a fait les calules en utilisant le temps en jours si je me trompe pas..
Bref on retombe a la meme réponse a la fin

Merci !!!
sos-math(21)
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Re: Calcul 2 Integrale

Message par sos-math(21) » mar. 30 juin 2020 06:50

Bonjour,
je réponds en me citant
sos-math(21) a écrit :
lun. 29 juin 2020 11:01
....
Si on note \(f(t)\) le pourcentage (décimal) du contenu encore en mémoire dans le candidat au bout de \(t\) jours, alors on a \(f(0)=0{,}95\) et \(f(7)=0{,}8\).
....
L'unité de temps choisie pour la variable n'est pas la même, ce qui change l'expression finale pour la fonction mais ne change pas les images calculées aux mêmes dates.
Donc tout le monde a raison et ton calcul est correct.
Bonne continuation
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