SOS-MATH

Bonjour
Déterminer a et b entiers , 100>a>b >0 tels que :
39a+41b=3584
Merci d'avance pour votre aide

Bonjour,
pour commencer, il faut établir le pgcd des deux entiers : \(pgcd(39,41)=1\)
Le théorème de Bézout assure qu'il existe deux entiers \(u\) et \(v\) tels que \(39u+41v=1\).
Ces deux entiers \(u\) et \(v\) peuvent se trouver à l'aide de l'algorithme d'Euclide : voir la page 5 de ce cours http://exo7.emath.fr/cours/ch_arithmetique.pdf
On trouve par exemple : \(u=20\) et \(v=-19\), soit en multipliant par 3584 : \(a'=71680\) et \(b'=-68\,096\)
Ces deux nombres constituent une solution particulière \((a',b')\) de l'équation.
En utilisant cette relation deux fois :
\(39a+41b=3584\)
\(39\times(71680)+41\times (-68096)=3584\) et en soustrayant membre à membre, on a :
\(39(a-71680)=41(-b-68096)\)
donc 41 divise \(39(a-71680)\) et comme le 39 et 41 sont premiers entre eux, le théorème de Gauss assure que 41 divise \(a-71680\) donc \(a-71680=41k\). En réinjectant dans \(39(a-71680)=41(-b-68096)\), on a \(39\times 41 k=41(-b-68096\) donc \(b=-68096-39k\).
Ainsi les solutions de l'équation sont de la forme \((71680+41k,-68096-39k), \, k\in\mathbb{Z}\).
Il suffit ensuite de trouver le bon coefficient k pour que a et b soient tous compris entre 0 et 100. On a comme solution possible : \(a=53\) et \(b=37\).
Bonne continuation

Merci beaucoup.

Bonjour,
L’important est que tu retiennes la méthode que j’ai présentée, à savoir la résolution d’une équation diophantienne \(ax+by=c\).
Bonne continuation

Sandrine a écrit : ↑

jeu. 18 juin 2020 18:52

Bonjour
Déterminer a et b entiers , 100>a>b >0 tels que :
39a+41b=3584
Merci d'avance pour votre aide

Bonjour,
On pourrait réécrire l'équation comme suit :
39a+41b = 3584
39(a+b)+ 2b = 39×91 +35 , div-euc de 3584/39
= 39×90 + 74
= 39×90 + 2×37
D'où par identification : b=37 , a+ b= 90 soit a= 53.


Pour obtenir toutes les solutions dans Z:
39(a+41k)+41(b-39k)=39a+41b pour tout k dans Z.
Ainsi, a=53+41k, b=37-39k

Bonjour,
pour la recherche d'une solution particulière, ta démarche est correcte.
En revanche, pour la généralisation, comment obtiens-tu que les solutions sont de la forme \(53+41k\), \(37-39k\) ?
Tu te contentes de vérifier que tes solutions fonctionnent mais rien ne garantit que ce sont les seules, et surtout tu ne donnes pas d'explications sur la démarche qui te permet d'obtenir ces expressions.
Dans ma démarche, je travaille par condition nécessaire : si un couple est solution, alors il est de la forme ..., ce qui me permet de trouver la forme des solutions. Il aurait fallu pour être complètement rigoureux (et je ne l'ai pas fait dans mon message), faire ce que tu fais, à savoir vérifier que les couples d'entiers de la forme obtenue sont bien solution de l'équation.
Bonne continuation

sos-math(21) a écrit : ↑

ven. 19 juin 2020 12:25

Bonjour,
pour la recherche d'une solution particulière, ta démarche est correcte.
En revanche, pour la généralisation, comment obtiens-tu que les solutions sont de la forme \(53+41k\), \(37-39k\) ?
Tu te contentes de vérifier que tes solutions fonctionnent mais rien ne garantit que ce sont les seules, et surtout tu ne donnes pas d'explications sur la démarche qui te permet d'obtenir ces expressions.
Dans ma démarche, je travaille par condition nécessaire : si un couple est solution, alors il est de la forme ..., ce qui me permet de trouver la forme des solutions. Il aurait fallu pour être complètement rigoureux (et je ne l'ai pas fait dans mon message), faire ce que tu fais, à savoir vérifier que les couples d'entiers de la forme obtenue sont bien solution de l'équation.
Bonne continuation

Bonjour,
La ligne de mon message :
39(a+41k)+41(b-39k)= 39a+41b pour TOUT k dans Z
n'est nullement une simple vérification comme vous vous contentez de me dire.
Dans ma démarche, je travaille par condition nécessaire :
Si x=x0+mk et y=y0+pk est un couple solution de:
ax+by=c pour tout k dans Z alors m=..... et p=.....
Je vous laisse finir.

Bonjour,
Je ne vois nulle part le début de ta condition nécessaire. Si je t’ai fait cette remarque c’est bien que cela ne m’a pas semblé explicite dans e que tu as rédigé : tu passes directement de la solution particulière à la forme générale des solutions.
Mais si penses être dans le vrai, je ne vais pas aller à l’encontre de tes convictions.
Bonne continuation

Bonjour,

Soit (x0,y0) solution de ax+by=c (E) dans Z
Cherchons la solution générale de la FORME : (x=x0+mk, y=y0+pk) et injections-la dans (E):

(E) <=> kd(ma'+pb')=0 <=> m=b' et p=-a' pour tt k dans Z (Th. Bezout) , d=pgcd(a,b).

Ainsi:
* TOUS les couples (x0+b'k,y0-a'k), k dans Z, sont solutions de (E).

* de plus : ces couples sont les plus PROCHES possibles de (x0,y0).

D'où le théorème suivant :
Avec les notations précédentes,
(x,y) solution de (E) <=> (x0+b'k,y0-a'k) pour tout k dans Z

Question de FORME, j'utilise le même principe qu'on utilise en MATHÉMATIQUES à savoir(BREF):
* cosx=cosx0:Forme x=x0+tk ,k dans Z
* tanx=tanx0 : forme x=x0+tk
* ay"+by'+cy =0: forme x=e^(rx)
* etc......
Puis on injecte cette FORME dans l'équation 'mère ' pour obtenir les conditions que doit vérifier le (ou les) paramètre

De plus, dans notre cas, il s'agit d'une équation linéaire : il est donc NORMAL de choisir la forme x0+mk où m est le paramètre. S'il ya mieux, qu'on le propose.


Cordialement.

Bonjour,
les formes dont vous parlez sont liées à des propriétés de fonctions : l'égalité de cosinus est liée à la périodicité de la fonction cosinus.
d'ailleurs dans votre citation :

cosx=cosx0:Forme x=x0+tk ,k dans Z

j'aurais mis \(t=2\pi\) du fait la \(2\pi\) périodicité de la fonction cosinus.
Pour une équation diophantienne, je fais comme si je ne savais pas la forme des solutions car rien ne me dit a priori que les autres solutions sont de la forme \(x_0+mk\).
D'ailleurs, je ne suis pas non plus d'accord avec cela :

kd(ma'+pb')=0 <=> m=b' et p=-a'

c'est encore une condition suffisante (d'ailleurs qui sont a' et b' ?) mais est elle nécessaire
Si on a kd(ma'+pb')=0 alors soit kd=0 soit ma'+pb' = 0 ce qui ce traduit par ma'=-pb' et après je ne sais pas quoi faire car je ne sais pas ce que sont a' et b'.
Je vous expose ma version de la condition nécessaire.
On suppose que \(c\) est divisible par \(d=pgcd(a,b)\) car sinon il n'y a pas de solution.
On suppose qu'on a trouvé une solution \( (x_0,y_0) \) à l'équation \(ax+by=c\)
alors \(ax_0+by_0=c\)
Supposons qu'il existe une solution \((x,y)\) alors on a \(ax+by=c\)
Par soustraction des deux égalités, on a \(a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\) donc \(a(x-x_0)=-b(y-y_0)\)
en notant \(d=pgcd(a,b)\), on a \(a=da'\) et \(b=db'\) avec \(a',b'\) entiers premiers entre eux :
l'égalité devient \(da'(x-x_0)=-db'(y-y_0)\) donc \(a'(x-x_0)=-b'(y-y_0)\) donc \(b'\) divise \(a'(x-x_0)\), avec \(b'\) premier avec \(a'\) donc le théorème de Gauss affirme que \(b'\) divise \(x-x_0\) donc il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(x-x_0=kb'\) donc \(x=x_0+kb'\)
En remplaçant \(x-x_0\) par \(kb'\) dans \(a'(x-x_0)=-b'(y-y_0)\), on a \(a'kb'=-b'(y-y_0)\) donc \(y-y_0=-ka'\) et \(y=y_0-ka'\).
Donc on a montré la condition nécessaire suivante : SI \(x,y)\) est une solution de l'équation ALORS il existe \(k'\in\mathbb{Z}\) tel que \(x=x_0+kb'\) et \(y=y_0-kb'\). C'est en raisonnant par condition nécessaire que j'obtiens la forme des solutions, sans aucun préalable.
Réciproquement (condition suffisante), s'il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \((x,y)=(x_0+kb',y_0-ka')\), on vérifie facilement que ce sont des solutions de l'équation \(ax+by=c\).
Ainsi, on a établi une condition nécessaire et suffisante pour qu'un couple \((x,y)\) soit solution de l'équation diophantienne, donc on a trouvé toutes les solutions.
Par contre je ne comprends pas cela :

* de plus : ces couples sont les plus PROCHES possibles de (x0,y0).

Je ne cherche pas à vous convaincre, je vous donne juste ma façon de raisonner et d'établir les solutions : cette démarche est d'ailleurs la même que dans de nombreux manuels d'arithmétique, par exemple Thèmes d'arithmétique d'Olivier Bordellès chez ellipses p23-24.
Bonne continuation

Bonjour ,
Pour cosx=cosx0 (E), on pose x sous la FORME x=x0+tk où t un paramètre réel et k dans Z puis on l'injecte dans (E) : cox(x0+tk)=cos(x0) pour TOUT k dans Z <==> t=2pi ce qui est conforme avec la périodicité.

Pour ay'"+by'+cy=0 (E), on prend la FORME y=e^(rx).où r est un paramètre réel puis on l'injecte dans (E) : on obtient les conditions que r doit vérifier , ce qui donne toutes les solutions ( sans parler de leur combinaison).

D'où la question : comment LA DEMARCHE que vous avez rappelée, que je l'utilise aussi peut résoudre une telle équation ?

Vous dites que vous n'êtes pas d'accord sur :

(E)<=>kd(ma'+pb')=0 <=> m=b' et p=-a' pour tt k dans Z (th.Bezout), d=pgcd(a,b.

Car kd=0 ou ....." .
Mais kd ne peut pas être nul :
d=pgcd(a,b) et l'équivalence est pour TOUT k dans Z.

Ceci répond aussi à votre question :" a' et b' , que sont-ils ?"
Et vous avez utilisé les mêmes notations dans votre présentation.


Par " solutions plus proches possibles de (x0,y0)" , je voulais dire que : de k=k0 à k=k0+1, on ne trouve pas de solution intermédiaire car on obtient des paramètres m et p plus petits possibles : ce sont, en fait, les périodes successives de x et de y, au même titre que celles de cosx (2pi) et tanx (pi) par exemple.

Pour résumer, la FORME de la solution générale n'est pas toujours possible par 'condition nécessaire' .

Cordialement.

Bonjour,
vous avez remarqué que dans mon précédent que je n'ai pas mentionné le cas des équations différentielles car justement pour moi, cela ne rentre pas dans le même cadre. Les solutions d'une équations différentielles forment un sous-espace vectoriel et on en cherche une famille génératrice sous la forme d'une exponentielle car l'exponentielle a un comportement "stable" vis-à-vis de la dérivation.
Pour le cosinus,

cox(x0+tk)=\cos(x0) pour TOUT k dans Z <==> t=2pi

Ce n'est pas nécessairement \(t=2\pi\) qui est le seul à fonctionner, car n'importe quel multiple de \(2\pi\) fonctionne :
\(\cos(x0+tk)=cos(x0)\) pour TOUT k dans Z\) <==> il existe \(k'\in\mathbb{Z}\) tel que \(t=2k'\pi\) : rien ne dit a priori que LA solution est \(t=2\pi\).
En revanche, je suis d'accord avec vous :

Pour résumer, la FORME de la solution générale n'est pas toujours possible par 'condition nécessaire' .

Je ne crois pas avoir dit cela mais je pense que dans le cadre d'une équation diophantienne, c'est cette approche qui est privilégiée car elle permet d'obtenir la forme sans aucun autre artifice, c'est-à-dire sans autre raisonnement que l'hypothético-déductif classique.
J'espère que vous êtes d'accord sur le fait que la recherche des solutions d'une équation différentielle sous la forme d'une exponentielle n'a rien de "naturel" : en tout cas, moi quand j'ai découvert cela dans mes études, je me suis dit "pourquoi sous cette forme ?" La réponse que j'ai eu était "parce qu'avec cette forme, cela marche bien" ; autant vous dire que ce type de réponse ne me convient pas d'un point de vue de l'heuristique.
En tant qu'enseignant de maths, je privilégie au maximum cette démarche heuristique.
Je pense que nous pouvons cesser le débat sur ce sujet car, je vous l'ai déjà dit, je ne cherche pas à vous convaincre, vous avez vos convictions et moi, j'ai aussi les miennes, nous pouvons donc en rester là, d'autant que ce forum n'est pas vraiment destiné à héberger ce genre de discussion, mais plutôt à aider des élèves du secondaire.
Bonne continuation