Sujet probabilités

[sos-math(21)]

Bonjour,
l'initialisation est liée au fait que \(T_1=1\) : il faut bien toujours une victoire pour obtenir le premier cadeau.
Donc l'événement \((T_1=1)\) est certain (donc \(P(T_1=1)=1\) et donc par exclusion tous les événements \((T_1=k)\) pour \(k>1\) sont impossibles et ont une probabilité nulle.
Ainsi, lorsque tu prends un couple quelconque \((k,l)\) d'entiers et que tu veux comparer \(P((T_1=k)\cap(T_2=l))\) et \(P(T_1=k)\times P(T_2=l)\), tu effectues la disjonction de cas : \(k=1\) et \(k>1\), ce qui te mène à des valeurs particulières de \(P(T_1=k)\) du fait de la particularité de \(T_1\).
C'est cette particularité de \(T_1\) qui te permet d'établir l'indépendance des deux va.
Bonne continuation

[SoS-Math(31)]

Pour k > 1
Si P(T =k) = 0 alors on le peut multiplier par n'importe quel nombre, le produit fait toujours 0. D'où P(T = k) * P(T =L) = 0.
Comme P(T=k inter T = L) = 0 on a bien P(T = k) P(T=L) = P(T=k inter T =L)

[Invité]

Merci bcp à tous les 2 j'ai compris !

Pour le problème 2 du même sujet : partie A question 2.b : à la question précédente j'ai trouvée avec une récurrence que :

a_(n+1)=a_n /3 et b_(n+1)=a_n + b_n /3.

Avec ceci comment trouver les deux égalité demandées dans la 2.b ? Je mets les deux égalités du dessus dans tous les sens, avec n+2.... mais pas moyen de trouver les égalités demandées.... C'est souvent mon problème, je m'embrouille......

Comment repondre à cette question 2.b ?

[Invité]

Rebonjour

J'ai maintenant un problème pour la question 1.b de la partie A du problème 2. Comment déterminer Im (f) ? Je sais que si (e1,e2,e3) est la base canonique, alors Im (f)=Vect(f(e1),f(e2),f(e3)).

Donc au concours (....) J'aurais écrit :

\(
Im(A)=Vect((A.\begin{pmatrix}
1 \\
0\\
0
\end{pmatrix}) , (A. \begin{pmatrix}
0\\
1 \\
0
\end{pmatrix}) , (A.\begin{pmatrix}
0 \\
0\\
1
\end{pmatrix})),
\)
Après calcul on aurait :
\(
Im (A) = Vect (
\begin{pmatrix}
1/3 \\
1/3 \\
-1/3
\end{pmatrix} ,
\begin{pmatrix}
1/3 \\
5/6 \\
1/6
\end{pmatrix} ,
\begin{pmatrix}
-1/3 \\
1/6 \\
5/6
\end{pmatrix})
.\)

Est-ce que c'est correct ?
Dans l'affirmative, est-ce que ça répond à la question de l'énoncé ?
Parce que dans l'énoncé ils demandaient Im (f) et pas Im (A).... Comment passer de Im (A) à Im (f) ?

Dans le corrigé je comprends rien à ce qu'ils écrivent....
https://www.heberger-image.fr/image/RfjvS

Pourriez-vous me clarifier tout ça : à la fois mes interrogations au dessus et ce que fait le corrigé ?

Je suis tellement reconnaissante que vous m'aidiez autant c'est juste génial merci

[Invité]

Je suis vraiment désolée j'ai encore une question.

Cette fois c'est sur la question 2.a de la partie B du problème 2.
Dans mon cours j'ai : d(x,P) = || x - p(x) ||
Ici comme f est la projection orthogonale on a : d(x,P) = || x - f(x) ||

Comme f(x,y,z)=1/6 (2x+2y-2z ; 2x+5y+z ; -2x+y+5z) :
Alors x-f(x) avec x=(x1,x2,x3) :

\(x-f (x) = (\frac{2}{3} x_1 - \frac{1}{3} x_2 + \frac{1}{3} x_3 ; - \frac{1}{3} x_1 + \frac{1}{6} x_2 - \frac{1}{6} x_3 ; \frac{1}{3} x_1 - \frac{1}{6} x_2 + \frac{1}{6} x_3 )
\)

Est-ce que jusqu'à présent c'est correct ?
Donc ensuite il faut prendre la norme de ce vecteur c'est bien ça ? Mais c'est énorme non ? Ensuite comment obtenir l'inégalité demandée ? La je suis vraiment bloquée....

Merci tellement bcp de m'aider

[sos-math(21)]

Bonjour,
en dérivant \(\varphi^{(n)}\) on a \(a_{n+1}=\dfrac{1}{3} a_n\) et \(b_{n+1}=a_n+\dfrac{b_n}{3}\) donc en passant au rang \(n+2\),
on a \(a_{n+2}=\dfrac{1}{3}a_{n+1}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}a_n=\dfrac{1}{9}a_n\) et \(b_{n+2}=a_{n+1}+\dfrac{1}{3}b_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{3}\left(a_n+\dfrac{1}{3}b_n\right)=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{9}b_n=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{9}b_n\).
Ensuite, tu prends les expressions proposées et tu les calcules :
\(\dfrac{2}{3}a_{n+1}-\dfrac{1}{9}a_n=\dfrac{2}{9}a_n-\dfrac{1}{9}a_n=\dfrac{1}{9}a_n\) : c'est bien ce qu'on a trouvé
\(\dfrac{2}{3}b_{n+1}-\dfrac{1}{9}b_n=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{2}{9}b_n-\dfrac{1}{9}b_n=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{9}b_n\) : c'est bien ce qu'on a trouvé.
Bonne continuation

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour ton sev \(Im(f)\), il est bien entendu engendré par les images de tes vecteurs de base mais cela ne dit rien sur la dimension de celui-ci : il peut n'avoir besoin que de deux vecteurs pour former une base.
La dimension de \(Im(f)\) est égal au rang de la matrice et les colonnes de la matrice correspondent aux coordonnées dans la base de départ des images de ces vecteurs. Donc il faut que tu arrives à déterminer le rang de cette famille. Comme les colonnes de la matrice vérifient \(C_3-C_2=2C_1\), la famille des vecteurs images n'est pas libre donc la matrice est de rang inférieur ou égal à 2 donc \(Im(f)\) est de dimension inférieure ou égale à 2. Comme les deux colonnes \(C_2\) et \(C_3\) sont linéairement indépendantes, elle est de rang 2 et \(Im(f)\) est engendré par \(f(e_2)\) et \(f(e_3)\).
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation

[sos-math(21)]

Bonjour,
il y a plus simple...
Si tu as trouvé un vecteur normal à ton plan (on trouve \(\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\)), alors l'équation du plan vectoriel est donnée par \(2x-1y+1z=0\) .
Par ailleurs, il existe un résultat sur la distance d'un point à un plan donné par une formule : \(d(x,\mathcal{P})=\dfrac{|2x_1-x_2+x_3|}{\sqrt{6}}\) (la valeur en dessous correspond à la norme du vecteur normal à savoir celui que je viens de citer. Je pense qu'il faudrait la redémontrer si elle ne figure pas dans ton cours ; tu peux regarder : https://fr.wikipedia.org/wiki/Distance_d%27un_point_%C3%A0_un_plan
Par ailleurs, la distance entre \(x\) et \(\mathcal{P}\) est le minimum de la distance de \(x\) à n'importe quel vecteur du plan, donc elle est inférieure à \(||x-y||\) pour tout \(y\in\mathcal{P}\) en particulier pour \(y=0\) car le vecteur nul appartient à tout sev d'un espace vectoriel.
Donc on a \(d(x,\mathcal{P})\leqslant ||x||\) ce qui donnera l'inégalité voulue.
Bonne continuation

[Invité]

Bonjour,
pour ton sev \(Im(f)\), il est bien entendu engendré par les images de tes vecteurs de base mais cela ne dit rien sur la dimension de celui-ci : il peut n'avoir besoin que de deux vecteurs pour former une base.
La dimension de \(Im(f)\) est égal au rang de la matrice et les colonnes de la matrice correspondent aux coordonnées dans la base de départ des images de ces vecteurs. Donc il faut que tu arrives à déterminer le rang de cette famille. Comme les colonnes de la matrice vérifient \(C_3-C_2=2C_1\), la famille des vecteurs images n'est pas libre donc la matrice est de rang inférieur ou égal à 2 donc \(Im(f)\) est de dimension inférieure ou égale à 2. Comme les deux colonnes \(C_2\) et \(C_3\) sont linéairement indépendantes, elle est de rang 2 et \(Im(f)\) est engendré par \(f(e_2)\) et \(f(e_3)\).
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation

Oui je comprend mieux merci bcp !

Mais du coup est-ce que ce que j'ai écris dans mon message de 15h40 c'est correct ?

Comment trouver une base de Im (f) en continuant ce que j'ai fait dans mon message de 15h40 ?

Ou alors ce n'est pas du tout la bonne méthode ?
Pas sûre d'avoir vraiment très bien compris....

[Invité]

Bonjour,
il y a plus simple...
Si tu as trouvé un vecteur normal à ton plan (on trouve \(\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\)), alors l'équation du plan vectoriel est donnée par \(2x-1y+1z=0\) .
Par ailleurs, il existe un résultat sur la distance d'un point à un plan donné par une formule : \(d(x,\mathcal{P})=\dfrac{|2x_1-x_2+x_3|}{\sqrt{6}}\) (la valeur en dessous correspond à la norme du vecteur normal à savoir celui que je viens de citer. Je pense qu'il faudrait la redémontrer si elle ne figure pas dans ton cours ; tu peux regarder : https://fr.wikipedia.org/wiki/Distance_d%27un_point_%C3%A0_un_plan
Par ailleurs, la distance entre \(x\) et \(\mathcal{P}\) est le minimum de la distance de \(x\) à n'importe quel vecteur du plan, donc elle est inférieure à \(||x-y||\) pour tout \(y\in\mathcal{P}\) en particulier pour \(y=0\) car le vecteur nul appartient à tout sev d'un espace vectoriel.
Donc on a \(d(x,\mathcal{P})\leqslant ||x||\) ce qui donnera l'inégalité voulue.
Bonne continuation

La formule je peux apt l'utiliser elle est pas a mon programme dommage

Je comprend pas ça :
Par ailleurs, la distance entre \(x\) et \(\mathcal{P}\) est le minimum de la distance de \(x\) à n'importe quel vecteur du plan, donc elle est inférieure à \(||x-y||\) pour tout \(y\in\mathcal{P}\) en particulier pour \(y=0\) car le vecteur nul appartient à tout sev d'un espace vectoriel.

Pourquoi parler de minimum ici ?

Et ausis : pour ma curiosité et parce que ça pourrait peut être sevire : comment calculer la norme de x-f(x) que j'ai trouvé dans mon autre message ?

Merci énormément bon samedi
Je stresse de plus en plus ça devient très très pesant j'ai très peut de pas avoir l'école dont je rêve..... Merci de m'aider

[sos-math(21)]

Bonjour,
ce que tu faisais dans ton message de 15h40 correspondait à ce que je te proposait mais il faut déterminer la dimension de ton sev engendré par ces trois vecteurs donc il faut que tu regardes si la famille de ces 3 vecteurs est libre ou pas. Si elle est libre, alors le sev est de dimension 3, sinon il est de dimension inférieure ou égale à 2. Si tu trouves deux vecteurs indépendants dans cette famille alors le sev est de dimension supérieure ou égale à 2 donc il sera de dimension 2, ce qui est le cas ici.
Bonne continuation

[sos-math(21)]

Bonjour,
si cette formule n'est pas au programme, il faut la redémontre en passant par un produit scalaire comme dans la page wikipedia que je t'ai donnée en lien. Ou alors peut-être as-tu une formule plus générale : voir la page 7 de ce cours (distance à un hyperplan) : http://desaintar.free.fr/resumes/espaces_euclidiens.pdf
Pour la notion de distance, c'est la définition même : \(d(x,A)=min_{a\in A}\left\lbrace ||a-x||\right\rbrace\)
Pour t'en convaincre, regarde dans le plan la distance d'un point à une droite : si tu veux atteindre un mur au plus vite, tu y vas perpendiculairement à ce mur, donc on retrouve bien la notion de projeté orthogonal qui minimise la distance d'un point à un ensemble (un plan dans le cas de ton problème).
N'hésite pas à faire des schémas pour te représenter la situation.
La norme d'un vecteur dans une base orthonormale est une généralisation de Pythagore \(||x||=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}\).
Bonne continuation