Calcul probabilité

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Inès

Calcul probabilité

Message par Inès » dim. 14 juin 2020 12:36

Bonjour

Dans cet extrait de problème je ne comprend pas le corrigé de la question e :

Énoncé (en deux pages) :
https://www.heberger-image.fr/image/RqaDI
https://www.heberger-image.fr/image/RqGWf

Le corrigé de la e :
https://www.heberger-image.fr/image/RqfY4

Pourriez-vous m'expliquer svp ? En particulier je comprend pas pourquoi parce que U et V sont à valeurs positives leurs densités de probabilités seraient positives ? Ensuite je comprend pas non plus le passage "mais puisque...." ?

Merci bcp pour toute l'aide
sos-math(21)
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Re: Calcul probabilité

Message par sos-math(21) » dim. 14 juin 2020 13:01

Bonjour,
une densité de probabilité d'une variable aléatoire s'appuie sur les valeurs de cette variable.
Si \(U\) est une variable aléatoire à valeurs réelles, de densité \(f\), on a \(\displaystyle P(U\in[a,b])=\int_a^bf(t)dt\) donc si U et V sont à valeurs positives, la fonction de densité étant nulle sur les valeurs négatives, on peut se contenter d'intégrer sur réels positifs.
D'après la formule, \(\displaystyle f_W(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_U(w-t)f_V(t)dt\) et ce que l'on vient de dire, on peut intégrer sur les réels positifs, car \(f_V(t)=0\) si \(t<0\). On aura donc \(\displaystyle f_W(w)=\int_{0}^{+\infty}f_U(w-t)f_V(t)dt\).
De plus pour que le produit sous l'intégrale soit non nul, il faut que \(f_U(w-t)\) soit non nul, ce qui arrive seulement si \(w-t\geqslant 0\) soit lorsque \(t\leqslant w\) donc on a bien l'intégrale sur le segment \([0\,;\,w]\).
Bonne continuation
Invité

Re: Calcul probabilité

Message par Invité » mer. 17 juin 2020 02:28

Bonjour

Merci de votre réponse je comprend mieux.

Par contre pour la suite de l'énoncé : https://www.heberger-image.fr/image/RqGWf

Je comprends pas la correction de la f :
https://www.heberger-image.fr/image/R3ITu
https://www.heberger-image.fr/image/R375X

Est ce que vous pourriez m expliquer comment on trouve f(n+1) (w) dans la relation de récurrence svp ?

Merci bcp
sos-math(21)
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Re: Calcul probabilité

Message par sos-math(21) » mer. 17 juin 2020 06:47

Bonjour,
les questions précédentes t'ont permis d'obtenir une expression de la densité d'une somme de deux va indépendantes, en fonction des densités de ces deux va.
C'est la fameuse intégrale dont on vient de parler.
Pour la récurrence, il s'agit de réutiliser cela pour l'hérédité en écrivant que \(S_{n+1}=S_n+Y_{n+1}\) (car \(S_n=Y_1+\ldots+Y_n\)), ces deux va étant indépendantes, on peut leur appliquer la propriété précédente d'où le calcul intégral. Le reste est du calcul et le corrigé devrait suffire pour comprendre la suite des calculs.
Bonne continuation
Invité

Re: Calcul probabilité

Message par Invité » mer. 17 juin 2020 10:38

Voilà en fait je ne comprend apt ça : pourquoi les variables sont indépendantes ?

Et ensuite comment on obtient f(n°1) (w) ?

Merci bcp
sos-math(21)
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Re: Calcul probabilité

Message par sos-math(21) » mer. 17 juin 2020 10:53

Bonjour,
l'indépendance des va est donnée comme hypothèse (enfin c'est que j'ai cru comprendre à la lecture de l'énoncé) donc si les variables sont mutuellement indépendantes, alors \(S_n\) et \(Y_ {n+1}\) le sont encore, ce qui permet d'appliquer la formule vue avec deux va indépendantes.
Bonne continuation
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